3.3.3函数的最大（小）值与导数,f (x)0,f (x)0,复习:一、函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)为增函数,f(x)为减函数,二、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称 为极值.,使函数取得极值的点x0称为极值点,求解函数极值的一般步骤： （1）求函数的定义域 （2）求函数的导数f (x) （3）求方程f (x) =0的根 （4）用方程f (x) =0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f (x)在方程f (x) =0的根左，右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,左正右负极大值， 左负右正极小值,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新 课 引 入,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,知识回顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,1最大值:,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最大值,2最小值:,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,如何求出函数在a,b上的最值？,一般的如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；,新授课,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).,题型：求函数的最大值和最小值,解：f(x)=6+12x-x3 f (x)=3x2+12 令f (x)=0，解得x=2或x=2,当 x 变化时, f (x) , f(x)的变化情况如下表:,例2:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,题型：求函数的最大值和最小值,练习：函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值为 ,最小值为 .,分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76,得x1=3，x2=1,函数值为f (3)=27, f (1)=5,76,-5,当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5,练习：,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：,54,-54,22,-10,2,-18,a,a-40,典型例题,反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,拓展提高题,1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？ 如下图：,不一定,2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。,3、 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。,有两个极值点时，函数有无最值情况不一定。,动手试试,4、函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为（ ) (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20,C,1. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,解法二:,f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,选做题：,解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,2、,解,令,解得,x,0,(0, ),( , ),+,-,+,0,0,( , ),0,应用,( 2009年天津（文）21T ),答:（1）斜率为1;,(2),（04浙江文21）（本题满分12分） 已知a为实数， （）求导数 ； （）若 ，求 在-2，2上的最大值和最小值； （）若 在（-，-2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围。,一.是利用函数性质 二.是利用不等式 三.是利用导数,求函数最值的一般方法,小结：,