第一章 高精度计算,利用计算机进行数值计算，有时会遇到这样的问题：有些计算要求精度高，希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位，虽然计算机的计算精度也算较高了，但因受到硬件的限制，往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。介绍常用的几种高精度计算的方法。 高精度计算中需要处理好以下几个问题： (1)数据的接收方法和存贮方法 数据的接收和存贮：当输入的数很长时，可采用字符串方式输入，这样可输入数字很长的数，利用字符串函数和操作运算，将每一位数取出，存入数组中。另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。 void init(int a) /传入一个数组 string s; cins; /读入字符串s a0=s.length(); /用a0计算字符串s的位数 for(i=1;i=a0;i+) ai=sa0-i-0; /将数串s转换为数组a，并倒序存储 另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。,(2) 高精度数位数的确定 位数的确定：接收时往往是用字符串的，所以它的位数就等于字符串的长度。 (3) 进位,借位处理 加法进位：ci=ai+bi; if (ci=10) ci%=10; +ci+1; 减法借位：if (aibi) -ai+1; ai+=10; ci=ai-bi; 乘法进位：ci+j-1= ai*bj + x + ci+j-1; x = ci+j-1/10; ci+j-1 %= 10; (4) 商和余数的求法 商和余数处理：视被除数和除数的位数情况进行处理.,【例1】高精度加法。输入两个正整数，求它们的和。 【分析】 输入两个数到两个变量中，然后用赋值语句求它们的和，输出。但是，我们知道，在C+语言中任何数据类型都有一定的表示范围。而当两个被加数很大时，上述算法显然不能求出精确解，因此我们需要寻求另外一种方法。在读小学时，我们做加法都采用竖式方法，如图1。 这样，我们方便写出两个整数相加的算法。,如果我们用数组A、B分别存储加数和被加数，用数组C存储结果。则上例有A1=6，A2=5， A3=8，B1=5，B2=5，B3=2，C4=1，C3=1，C2=1，C1=1，两数相加如图2所示。,因此，算法描述如下： int c100; void add(int a,int b) /a,b,c都为数组，分别存储被加数、加数、结果 int i=1,x=0; /x是进位 while (i=a数组长度)|(i=b数组的长度) ci=ai+bi+x; /第i位相加并加上次的进位 x=ci/10; /向高位进位 ci%=10; /存储第i位的值 i+; /位置下标变量 ,通常，读入的两个整数用可用字符串来存储，程序设计如下： #include #include #include using namespace std; int main() char a1100,b1100; int a100,b100,c100,lena,lenb,lenc,i,x; memset(a,0,sizeof(a); memset(b,0,sizeof(b); memset(c,0,sizeof(c); gets(a1); gets(b1); /输入加数与被加数 lena=strlen(a1); lenb=strlen(b1); for (i=0;i=lena-1;i+) alena-i=a1i-48; /加数放入a数组 for (i=0;i=lenb-1;i+) blenb-i=b1i-48; /加数放入b数组 lenc =1; x=0;,while (lenc =1;i-) coutci; /输出结果 coutendl; return 0; ,【例2】高精度减法。输入两个正整数，求它们的差。 【算法分析】 类似加法，可以用竖式求减法。在做减法运算时，需要注意的是：被减数必须比减数大，同时需要处理借位。高精度减法的参考程序：#include #include #include using namespace std; int main() int a256,b256,c256,lena,lenb,lenc,i; char n256,n1256,n2256; memset(a,0,sizeof(a); memset(b,0,sizeof(b); memset(c,0,sizeof(c);,printf(Input minuend:); gets(n1); /输入被减数 printf(Input subtrahend:); gets(n2); /输入减数 if (strlen(n1)n2时，返回正整数；n1n2时，返回负整数 /处理被减数和减数，交换被减数和减数 strcpy(n,n1); /将n1数组的值完全赋值给n数组 strcpy(n1,n2); strcpy(n2,n); cout-; /交换了减数和被减数，结果为负数 lena=strlen(n1); lenb=strlen(n2); for (i=0;i=lena-1;i+) alena-i=int(n1i-0); /被减数放入a数组 for (i=0;i=lenb-1;i+) blenb-i=int(n2i-0); /减数放入b数组,i=1; while (i1) lenc-; /最高位的0不输出 for (i=lenc;i=1;i-) coutci; /输出结果 coutendl; return 0; ,【例3】高精度乘法。输入两个正整数，求它们的积。 【算法分析】 类似加法，可以用竖式求乘法。在做乘法运算时，同样也有进位，同时对每一位进行乘法运算时，必须进行错位相加，如图3、图4。 分析c数组下标的变化规律，可以写出如下关系式：ci = ci +c”i +由此可见，c i跟ai*bj乘积有关，跟上次的进位有关，还跟原c i的值有关，分析下标规律，有ci+j-1= ai*bj+ x + ci+j-1; x=ci+j-1/10 ; ci+j-1%=10;,高精度乘法的参考程序： #include #include #include using namespace std; int main() char a1100,b1100; int a100,b100,c100,lena,lenb,lenc,i,j,x; memset(a,0,sizeof(a); memset(b,0,sizeof(b); memset(c,0,sizeof(c); gets(a1);gets(b1); lena=strlen(a1);lenb=strlen(b1); for (i=0;i=lena-1;i+) alena-i=a1i-48; for (i=0;i=lenb-1;i+) blenb-i=b1i-48;,for (i=1;i1) /删除前导0 lenc-; for (i=lenc;i=1;i-) coutci; coutendl; return 0; ,【例4】高精度除法。输入两个正整数，求它们的商（做整除）。 【算法分析】 做除法时，每一次上商的值都在，每次求得的余数连接以后的若干位得到新的被除数，继续做除法。因此，在做高精度除法时，要涉及到乘法运算和减法运算，还有移位处理。当然，为了程序简洁，可以避免高精度除法，用09次循环减法取代得到商的值。这里，我们讨论一下高精度数除以单精度数的结果，采取的方法是按位相除法。,#include #include #include using namespace std; int main() char a1100,c1100; int a100,c100,lena,i,x=0,lenc,b; memset(a,0,sizeof(a); memset(c,0,sizeof(c); gets(a1); cinb; lena=strlen(a1); for (i=0;i=lena-1;i+) ai+1=a1i-48;,for (i=1;i=lena;i+) /按位相除 ci=(x*10+ai)/b; x=(x*10+ai)%b; lenc=1; while (clenc=0 ,实质上，在做两个高精度数运算时候，存储高精度数的数组元素可以不仅仅只保留一个数字，而采取保留多位数（例如一个整型或长整型数据等），这样，在做运算（特别是乘法运算）时，可以减少很多操作次数。例如图5就是采用4位保存的除法运算，其他运算也类似。具体程序可以修改上述例题予以解决，程序请读者完成。,示例：123456789 45 = 1 2345 6789 45 = 274 3484 1 / 45 = 0 ， 1%45=1 取12345 / 45 = 274 12345 % 45 = 15 取156789/45 = 3484 答案为2743484, 余数为156789%45 = 9 图5,【例5】高精除以高精，求它们的商和余数。 【算法分析】 高精除以低精是对被除数的每一位（这里的“一位”包含前面的余数，以下都是如此）都除以除数，而高精除以高精则是用减法模拟除法，对被除数的每一位都减去除数，一直减到当前位置的数字（包含前面的余数）小于除数（由于每一位的数字小于10，所以对于每一位最多进行10次计算）具体实现程序如下：,#include #include using namespace std; int a101,b101,c101,d,i; void init(int a) string s; cins; /读入字符串s a0=s.length(); /用a0计算字符串 s的位数 for(i=1;i0;i-) coutai; coutendl; return ; ,int compare (int a,int b) /比较a和b的大小关系，若ab则为1，ab0) return 1; /a的位数大于b则a比b大 if(a00;i-) /从高位到低位比较 if (aibi) return 1; if (aibi) return -1; return 0; /各位都相等则两数相等。 void numcpy(int p,int q,int det) /复制p数组到q数组从det开始的地方 for (int i=1;i=p0;i+) qi+det-1=pi; q0=p0+det-1; ,void jian(int a,int b) /计算a=a-b int flag,i; flag=compare(a,b); /调用比较函数判断大小 if (flag=0) a0=0;return; /相等 if(flag=1) /大于 for(i=1;i0 ,void chugao(int a,int b,int c) int tmp101; c0=a0-b0+1; for (int i=c0;i0;i-) memset(tmp,0,sizeof(tmp); /数组清零 numcpy(b,tmp,i); while(compare(a,tmp)=0)ci+;jian(a,tmp); /用减法来模拟 while(c00 ,int main() mems