第三章 连续时间信号与系统的频域分析,傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱 信号的功率谱和能量谱 周期信号激励下的稳态响应 非周期信号激励下的零状态响应 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 信号的调制与解调 频分复用和时分复用 信号无失真传输的条件,周期信号可分解为,是 n 的偶函数,因此，周期信号可以分解为各次谐波之和。,1 傅里叶级数,傅里叶级数的三角函数形式：,是 n 的奇函数,或,是 n 的偶函数； 是 n 的奇函数,傅里叶级数的指数形式,偶函数； 奇函数,称为复傅里叶系数。,令：,表明任意周期信号可以表示成 的线性组合，加权因子为 。,傅里叶系数间的关系,傅里叶系数：,复傅里叶系数。,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,纵轴对称（偶函数）,原点对称（奇函数）,半周镜象对称（奇谐函数）,只含常数和余弦项。,只含正弦项。,无偶次谐波，只有奇次谐波。,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,半周重迭（偶谐函数）,无奇次谐波，只有直流(常数)和偶次谐波。,根据周期信号的对称性与傅里叶系数的 关系，可使求解傅里叶系数的计算量大 大减少；也可以确定信号所含的频率分 量的类别；对绘波形图也有作用。,周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。,例 1,偶函数：只含余弦项； 半周重叠： 只含偶次谐波和直流,C,例 2,周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。,奇函数：只含正弦项； 半周镜象对称： 只含奇次谐波,B,例 3,已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数， 其傅里叶级数只有偶次谐波；,解：波形纵轴对称；半周重叠。,2 周期信号的频谱,若周期信号为 f (t) ，周期为T，其指数形式为 称 为f (t)的频谱; 显然， 在 处有意义，即不连续，故称为离散频谱。,令 称为抽样函数，为偶函数。当 时 ，,频谱为：,其中： 为基波频率， 在 有值，称为谱线；,周期矩形脉冲的频谱,周期T不变，脉冲宽度变化 ,第一个过零点：,谱线间隔,在 有值，称为谱线；,周期T不变，脉冲宽度变化 ,， 第一个过零点为 n =8 。,情况 2：,第一个过零点增加一倍,谱线间隔不变,脉冲宽度缩小一倍,幅值减小一倍,周期T不变，脉冲宽度变化 ,， 第一个过零点为 n =16 。,情况 3：,第一个过零点再增加一倍,谱线间隔不变,脉冲宽度再缩小一倍,幅值再减小一倍,结 论, 由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大， 即 ， 称为信号的带宽， 确定了带宽。 由大变小，频谱的幅度变小。 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。,脉冲宽度不变, 周期T变化 ,第一个过零点,谱线间隔,幅值:,脉冲宽度不变, 周期T变化 ,谱线间隔减小一倍,第一个过零点不变,幅值减小一倍,周期T扩展一倍,脉冲宽度不变, 周期T变化 ,周期T再扩展一倍,谱线间隔再减小一倍,幅值再减小一倍,第一个过零点不变,结 论, 不变，Fn 的第一个过零点频率不变， 即 ， 带宽不变。 T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。 T 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱,周期信号频谱的特点,离散性： 频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。 谐波性： 频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 收敛性： 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。 离散频谱与连续频谱 当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当 T 时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。,周期信号频谱的性质,时移特性：,若 ，则,证：设,微分特性：,若 ，则,证： ，则,对称特性：,若 ，则,3 非周期信号的频谱,傅里叶变换的解释,任意信号 f (t)可以分解为无穷多个不同频率的复指数信号 ，它包括了一切频率，且各分量的幅值 无穷小。这样系统的输入和输出的关系为：,线性非时 变系统 (零状态),输出频谱； 输出原函数。以上就是傅里叶分析的基本思想。,几个基本函数的傅里叶变换,【例 1】冲激函数,【例 2】门函数,几个基本函数的傅里叶变换,【例 3】单边指数函数,【例 4】符号函数,为奇函数，,为奇函数，,为偶函数，,故,求傅里叶变换的思路,四个基本信号 的傅里叶变换,二十一个常用信号 的傅里叶变换,所有信号的 傅里叶变换,利用傅里叶 变换的性质,利用已知 信号推广,求信号的傅里叶变换是一个难点, 也是进入变换域分析的第一个积分变换!,4 傅里叶变换的性质,线性特性：,时移特性：,频移特性：,表明信号延时了t0 秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了 - t0,表明信号 f (t)乘以 ，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0,因为：,频谱搬移技术在通信系统中 得到广泛应用，如调幅、同步解调、变频等 过程都是在频谱搬移的基础上完成的。,4 傅里叶变换的性质,尺度变换特性：,对称特性：,a为非零的实常数。,可见，信号在时域中压缩(a1)等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展(a1)则等效于在频域中压缩。信号在时域中反折(a=-1)则等效于在频域中也反折。,根据时移和尺变换特性有：,若 f (t) 是偶函数， f (t) R()，则 R (t) 2 f ()，,则：,同学们可自行证明,4 傅里叶变换的性质,奇偶特性：,若 f (t) 实函数,f (t)偶函数：,可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。 |F(j)|是偶函数；( )是奇函数。即有F(-j)= F*(j),f (t)奇函数：,举 例,【例 5】常数 1,【例 7】cos 0t, sin 0t,已知：(t)1, 利用对称特性：1 2(),【例 6】,已知：12() , 利用频移特性： 2(- 0),已知：,根据线性特性：,已知：,根据线性特性：,举 例,【例 10】cos 0t (t),【例 9】,已知：,已知：,利用频移特性：,根据线性特性：,【例 8】单位阶跃函数 (t),已知：,举 例,【例 11】脉冲调制信号 G (t)cos 0t,利用频移特性：,已知：,一般有:,举 例,【例 13】双边指数函数,已知：,利用尺度变换特性：,【例 12】,已知：,课堂练习题,求下列信号的傅里叶变换。,解：,课堂练习题,求下列信号的傅里叶变换。,解：,时域微分和积分特性,公式：,一般的求法： ，先求 的频谱,由以上三式，可推出一般公式：,一般公式：,其中：,时域微分和积分特性,结论： 每次对 f (t)求导后的图形的面积为，即 则 从上面公式可知，一个有始有终的信号,即 f ()= f (-)=0, 则 F(j)中无()项。 一个无限信号是否含()，看是否有 f ()+ f (-)=0,举 例,【例 14】求下列信号的傅里叶变换：,举 例,【例 15】三角脉冲 QT(t),根据时域微分特性：,频域微分和积分特性,公式：,【例 16】t,已知： ，根据频域微分特性,【例 17】t(t),已知： ，根据频域微分特性,举 例,【例 18】| t |,根据尺度变换特性：,也可以用时域微分特性,已知:,根据时域微分特性：,卷积定理,时域卷积定理：,如例15的三角脉冲的频谱，可用时域卷积特性来计算：,三角脉冲可以看成两个 相同门函数的卷积积分,门函数的傅里叶变换为：,根据时域卷积特性：,卷积定理,【例 19】余弦脉冲,频域卷积定理：,根据频域卷积定理：,已知:,卷积定理,【例 20】调制信号,根据频域卷积定理：,已知： ，根据对称性：,将 换成2c，得：,又已知：,课堂练习题,已知 f (t)F(j)，求下列信号的傅里叶变换。,解：,课堂练习题,已知 f (t)F(j)，求下列信号的傅里叶变换。,解：方法1,方法2,5 周期信号的傅里叶变换,周期信号可表示为:,上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频和它所有谐波频率上。也可以说明，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。,举 例,【例 21】冲激串函数 T(t),周期为=2/T,举 例,【例 22】周期函数的频谱,周期函数 ，其中： 为第一个周期， 为冲激串。,若 ，根据时域卷积定理：,周期函数的傅里叶 变换的一般公式,举 例,【例 23】周期矩形脉冲信号的傅里叶变换,第一个周期：,故信号的频谱为：,显然这是T=2 的频谱图,信号为一电流,功率信号与功率谱： 功率信号：信号在时间区间(-,+ )内的能量为，但在一个周期(-T/2,+T/2) 内的平均功率为有限值，这样的信号称为功率信号。周期信号即为功率信号。 功率信号的平均功率为：,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,i 的有效值 I 为：,非正弦周期电流的有效值各项谐波分量有效值的平方和的平方根。,6 信号的功率谱和能量谱,信号作用于1殴电阻时，其功率为：,时域求得的信号功率,频域求得的信号功率,帕塞瓦尔定理 在周期信号的表示形式,对于周期信号，在时域中求得的信号功率 频域中的信号各谐波分量功率之和。 这就是 Parseval 定理在周期信号时的表示形式,功率谱： 将各次谐波的平均功率随 =n (n=0, 1, 2,) 的分布关系画成图形，即得周期信号的双边功率频谱，简称功率谱。 单边功率谱:,功率谱,可将各次谐波的平均功率 随=n (n=0, 1, 2,) 的分布关系画成图形，从而构成单边功率谱。,功率谱为离散谱。,能量信号：信号在时间区间(-,+ )内的能量为有限值，而在时间区间(-,+ )内的平均功率P=0，这样的信号称为能量信号。非周期信号当它在有限时间范围内有一定的数值；而当 t 时数值为0时。即为能量信号。 能量信号的能量的计算公式： 信号的总能量： ，可以推导出：,时域求得的信号能量,频域求得的信号能量,帕塞瓦尔定理 在非周期信号的表示形式,对于非周期信号，信号能量可以从时域中求得, 也可以从频域中求得。 这就是 Parseval 定理在非周期信号时的表示形式,定义： 为了表明信号能量在频率分量中的分布，定义能量频谱为G(),能量谱,能量谱为连续谱,它描述了单位频带内信号的能量随分布的规律。可见能量谱为连续谱,信号的能量为:,例 1,求如图所示信号的功率谱和信号占有频带内的平均功率占整个信号平均功率的百分比。已知： =0.05s, T=5=0.25s 。,故在信号的占有频带内共有个谐波分量。,整个信号的平均功率为,解: 基波频率 =2/T=8,频带:,因,故,故,信号在占有频带内的平均功率为：,故百分比为 ,例 2,求信号 的能量。,解：已知：,根据频域卷积定理：,信号的能量为：,课堂练习题,求下列频谱函数F(j)的傅里叶反变换 f (t)。,解：,课堂