广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版 1 / 11 绝密启用前 揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试 数学(理科) 本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上 2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不 按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式：棱锥的体积公式： 1 3 VSh其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 一选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知全集UR，|21 x Ax y，则ACU A.0,) B.(,0) C. (0,) D. (,0 2若(12)1ai ibi，其中a、bR，i是虚数单位，则|abi= A 1 2 iB5C 5 2 D 5 4 3已知点A( 1,5)和向量a=（2,3 ） ，若3ABa，则点 B的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14) 4在等差数列 n a中，首项 1 0,a公差0d，若 129m aaaa， 则m的值为 A37 B 36 C20 D19 5一个棱长为2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图 (1) 示，则该几何体的体积为 A.7 B. 22 3 C. 47 6 D. 23 3 图 （1） 俯 视图 侧视图正视图 广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版 2 / 11 元件 2 元件 1 6 已知函数 1 ( ) ln(1) fx xx , 则( )yf x的图象大致为 7某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校 任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安 排方法种数为 A.18 B.24 C.30 D.36 8. 设( )f x是定义在（0,1 ）上的函数，对任意的1yx都有 11 ()()() 1 yx fff xyxy ，记 2 1 ()() 55 n afnN nn , 则 8 1 i i a= A. 1 ( ) 2 f B. 1 ( ) 3 f C. 1 ( ) 4 f D. 1 ( ) 5 f 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分 （一）必做题（913 题） 9若点( , 1)a在函数 1 3 logyx的图象上，则 4 tan a 的值为 10 过双曲线 22 1 916 xy 的右焦点， 且平行于经过一、 三象限的渐近线的直线方程是 . 11某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使 用寿命（单位：小时）均服从正态分布 2 (1000,50 )N，且各个图（ 2） 元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为 12已知函数( )4|21fxa xa若命题：“ 0 (0,1)x，使 0 ()0f x”是真命题，则实 数a的取值范围为 13已知点( , )P x y满足 01, 02. x xy 则点(, )Q xy y构成的图形的面积为 （二）选做题（14、 15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线 l过圆 C ：22 cos() 4 的圆心 C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为 广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版 3 / 11 图（ 5） 图（ 4） MN M NF D C B A E C F B A ED 15( 几何证明选讲选做题) 如图（ 3）所示，,C D是半圆周上的两个 三等分点，直径4AB，CEAB，垂足为E，BD与CE相交于 点F，则BF的长为 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12 分） 已知函数 12sin(2) 4 ( ) cos x f x x ， （1）求函数( )f x的定义域； （2）设是第四象限的角，且 4 tan 3 ，求()f的值 17. （本小题满分12 分） 某批产品成箱包装，每箱5 件一用户在购进该批产品前先取出3 箱，设取出的3箱中，第 一、二、三箱中分别有0 件、 1 件、 2 件二等品，其余为一等品 （1）在取出的3 箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3 次( 每次一件 ) ，求恰有两次抽到 二等品的概率； （2）在取出的3 箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2 件产品进行检验，用表示抽检的6 件产品中二等品的件数，求的分布列及数学期望 18 （本小题满分14 分） 数列 n a中， 1 3a， 1nn aacn（c是常数，12 3n， ， ，） ，且 123 aaa，成公比不 为1的等比数列 （1）求c的值； （2）求 n a的通项公式； （3）求最小的自然数n，使2013 n a 19 （本小题满分14 分） 在图（ 4）所示的长方形ABCD 中， AD=2AB=2 ，E、F 分别为 AD 、 BC的中点， M 、N两点分 别在 AF和 CE上运动，且AM=EN=a (02).a 把长方形ABCD 沿 EF折成大小为的二面角A-EF-C， 如图（ 5）所示，其中(0, 2 （1）当 0 45时，求三棱柱BCF-ADE的体积； （2）求证：不论怎么变化，直线MN 总与平面BCF平行； （3）当 0 90且 2 . 2 a时，求异面直线MN 与 AC所成角 的余弦值 图3 F E DC BA o 广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版 4 / 11 t l y X O MF B A 20. （本小题满分14 分） 如图（ 6）已知抛物线 2 :2(0)Cypx p的准线为l，焦点为F， 圆 M的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切过原点作倾斜角 为 3 的直线t，交l于点 A，交圆 M于点 B, 且| |2AOOB （1）求圆 M和抛物线C的方程； （2）设,G H是抛物线 C上异于原点O的两个不同点，且 0OG OH, 求GOH面积的最小值；图 （6） （3）在抛物线C上是否存在两点QP,关于直线:10m yk xk对称？若存在，求 出直线m的方程，若不存在，说明理由. 21 （本小题满分14 分） 设函数 2 ( )(1) n n fxxx在 1 ,1 2 上的最大值为 n a（1,2,n） （1）求 12 ,a a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）证明：对任意 * nN（2n）, 都有 2 1 (2) n a n 成立 广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版 5 / 11 揭阳市 2013 年高中毕业班高考第二次模拟考 数学 ( 理科 ) 参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的 解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一选择题：BCDA DACC 解析 ： 1由210 x 得0 x，0,)A，故选 B 2由(12)1ai ibi得 1 ,1 2 ab 225 | 2 abiab, 选 C 3设( , )B x y，由3ABa得 16 59 x y ，所以选D 4由 129m aaaa得 5 (1)93637mdadm，选 A 5依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为. 3 1123 221 1 1 323 ，故选 D. 6令( )ln(1)g xxx，则 1 ( )1 11 x gx xx ，由( )0,gx得0,x即函数( )g x在 (0,)上单调递增，由( )0g x得10 x，即函数( )g x在( 1,0)上单调递减，所以当 0 x时，函数( )g x有最小值， min ( )(0)0g xg，于是对任意的( 1,0)(0,)x，有 ( )0g x，故排除B、D,因函数( )g x在( 1,0)上单调递减，则函数( )f x在( 1,0)上递增，故 排除 C,所以答案选A. 7 四名学生中有两名分在一所学校的种数是 2 4 C ， 顺序有 3 3 A 种， 而甲乙被分在同一所学校的有 3 3 A 种，所以不同的安排方法种数是 233 433 30C AA故选 C. 8. 因 2 1(3)(2) () 55(3)(2)1 n nn aff nnnn 11 ()() 23 ff nn ，故 8 1 i i a 128 111111 ( )()( )( )()() 34451011 aaaffffff 广东省揭阳市2013 届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模）新人教A 版 6 / 11 2 u=2 -1 v=u-1 v=u 12 o v u 1111 31 ( )()()( ) 31111 3 14 ffff ，故选 C. 二填空题：9. 3；10. 43200 xy；11. 3 4 ；12. 1 2 a（或 1 (,) 2 a） ；13.2 ； 14. cossin20（或 cos()2 4 ） ；15. 2 3 3 . 解析 ： 9依题意得 3a ，则 4 tan a = 4 tan 3 3 10双曲线 22 1 916 xy 的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为 4 3 yx，所以所求直线方程为 4 (5), 3 yx 即43200 xy 11两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 (1000,50 )N得：两个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率均为 1 2 p，则该部件使用寿命超过1000 小时的概率为： 2 1 3 1(1) 4 Pp 12由“)1 ,0( 0 x，使得0)( 0 xf”是真命题，得(0)(1)0ff (12 )(4 | 21)0aaa 0 (21)(21)0 a aa 或 0 (61)(21)0 a aa 1 2 a. 13令 ,xyu yv，则点( , )Q u v 满足 01, 02. uv u ，在uov平面内画 出点( , )Q u v所构成的平面区域如图，易得其面积为2. 14把 2 2cos() 4 化为直角坐标系的方程为 22 22xyxy，圆心 C的坐标为（ 1，1） ， 与直线OC 垂直的直线方程为20,xy化为极坐标系的方程为cossin20或 cos()2 4 15. 依题意知30DBA, 则 AD=2 ，过点 D作 DGAB于 G ，则 AG=BE=1 ，所以 2 3 3 BF. 三解答题： 16解： （1）函数( )f x要有意义，需满足：cos0 x， 解得, 2 xkkZ， -2分 即( )f x的定义域为|, 2 x xkkZ-