用心 爱心 专心1 函数与导数质量检测 ( 时间 120 分钟满分 150 分) 一、选择题 ( 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1给出四个命题： 函数是其定义域到值域的映射；f(x) x 32x是函数；函数y 2x(xN) 的图象是一条直线；f(x) x 2 x 与g(x) x是同一个函数 其中正确的有( ) A1 个B 2 个 C3 个D 4 个 解析： 由函数的定义知正确 满足f(x) x32x的x不存在，不正确 又y 2x(xN)的图象是一条直线上的一群孤立的点， 不正确 又f(x) 与g(x) 的定义域不同，也不正确 答案： A 2(2011 年青岛质检 ) 下列四个函数中，在区间(0,1) 上为减函数的是( ) 答案： B 3已知f(x) 1 2x 1， x0， x1 2， x0， 使f(x) 1 成立的x的取值范围是 ( ) A 4,2) B 4,2 C(0,2 D ( 4,2 解析： f(x) 1， 用心 爱心 专心2 x0， 1 2x1 1 或 x0， x1 2 1， 4x0 或 0x2，即 4x2. 答案： B 4(2011 年湖北八市三月调考)设f(x) 2 x1 fx1 x0 x0 Cf(x0)2， 则函数f(x) 1 3x 3 ax 21 在区间 (0,2) 上恰好有 ( ) A0 个零点B 1 个零点 C2 个零点D 3 个零点 解析： 解答本题要结合二分法和函数的单调性判断由已知得：f(x) x(x2a) ， 由于a2，故当0x2 时f(x)2 时 f(0)f(2) 11 3 4a0，故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点 答案： B 9(2010 年黄山模拟 ) 已知函数f(x) 的导函数f(x) a(x1)(xa) ，若f(x) 在xa处取到极大值，则a的取值范围是 ( ) A( 1,0) B (2 ，) C(0,1) D ( ， 3) 解析：由f(x) 在xa处取得极大值可知， 当x0， 当xa时，f(x)0 的解集为xa且a(x1)(xa)a，通过对这两个不等式 的解集讨论可知1a0. 故选 A. 答案： A 10(2011 年福州质检 ) 某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99345.16.12 y 1.54.047.51218.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) Ay2x2 By( 1 2) x Cylog2xDy1 2( x 21) 解析： 把所给值代入即可：如x 3时， A：y4，B：y 1 8，C： ylog23，D：y 4. x4 时， A：y6， B：y 1 16，C： ylog24， D ：y7.5 ，故选 D. 用心 爱心 专心4 答案： D 11(2010 年厦门市高中毕业班质量检查)已知函数yf(x1) 的图象关于点(1,0) 对 称，且当x( ， 0) 时，f(x) xf(x)bcBcba CcabDacb 解析： 设(x，f(x1) 是yf(x1) 上任一点，其关于(1,0) 的对称点 (2 x，f(x 1) 也在yf(x 1) 上，所以f(x1) f(2 x1)f(1 x) ，由此知yf(x)为奇函 数 设F(x) xf(x) ，可知F(x) 为偶函数，又因为f(x) f(x) xf(x)0，所以 F(x) 在( ， 0) 上是减函数，而在(0， ) 上是增函数 aF(3 0.3 ) ，bF(log 3)，cF(log31 9) F( 2) F(2) log33 0.3 2，bac，故选 C. 答案： C 12(2010 年广东省惠州市高三第三次调研) 给出定义：若函数f(x) 在D上可导，即 f(x) 存在， 且导函数f(x) 在D上也可导，则称f(x) 在D上存在二阶导函数， 记f(x) (f(x) ，若f(x)0 在D上恒成立，则称f(x) 在D上为凸函数以下四个函数在 (0， 2 ) 上不是凸函数的是( ) Af(x) sinxcosx Bf(x) lnx2x Cf(x) x 32x1 Df(x) xe x 解析： 对 A，f(x) cosxsinx，f(x) sinxcosx， f(x) 在(0 ， 2 ) 上恒小于0； 对 B，f(x) 1 x 2， f(x) 1 x 2， 当x(0， 2 ) 时f(x)0； 对 C，f(x) 3x 22，f (x) 6x， 当x(0， 2 ) 时f(x)0. 综上，只有D选项不是凸函数 答案： D 二、填空题 ( 本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13(2010 年江苏省苏州六校联合高三调研考试) f(x) xn 23n( nZ) 是偶函数，且 yf(x)在 (0 ， ) 上是减函数，则n_. 解析： 因为f(x) 在(0 ， ) 上是减函数，所以n 23n0，即 0n3，又因为 f(x) 是偶函数，所以n 23n 是偶数，只有n1 或 2 满足条件 答案： 1 或 2 14已知函数f(x) f( 4 )cosxsinx，则f( 4 ) 的值为 _ 解析： f(x) f( 4 )cosxsinx， f(x) f( 4 )sinxcosx， f( 4 ) f( 4 ) 2 2 2 2 ， f( 4 ) 1 12 2 1. 故f( 4 ) (21) 2 2 2 2 1. 答案： 1 15已知函数y 1 3x 3 bx 2 (2b3)x 2b在 R上不是单调减函数，则b的取值范 围是 _ 解析：yx 22bx(2 b3) ，要使原函数在R上单调递减，应有y0 恒成立， 4b 2 4(2 b3) 4(b 2 2b3)0， 1 b3， 故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3. 答案：b3 16定义在 R上的偶函数f(x)，满足f(x1)f(x) ，且f(x) 在 1,0 上是 增函数，下列五个关于f(x) 的命题中：f(x) 是周期函数；f(x) 的图象关于x1 对称；f(x) 在 0,1 上是增函数；f(x) 在1,2上是减函数；f(2) f(0) 其中正确命题的序号是_( 请把所有正确命题的序号全部写出) 用心 爱心 专心6 解析： 对，由f(x1) f(x) 得f(x2) f(x1) 1) f(x1) ( f(x) f(x) ，所以f(x) 是一个周期为2 的函数，故正确； 对，由f(x) 的周期为 2 可得，f(x1) f(x1) ，由f(x) 为偶函数，得f(x 1) f(1 x)， 所以f(1 x) f(1 x) ，即函数f(x) 的图象关于x1 对称，故正确； 对， 由f(x) 在 1,0 上是增函数， 而且f(x) 为偶函数， 所以f(x) 在 0,1 上是 减函数，故错误； 对，由函数f(x) 的周期为2 可得f(x) 在1,2上是增函数，故错误； 对，由可得f(2) f(0) ，故正确 综合上述，正确的命题有. 答案： 三、解答题 ( 本大题共6 小题，共70 分， 17 题 10 分， 1822 题，每题 12 分解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(2010 年东莞模拟 ) 已知g(x) x 23， f(x) 是二次函数，当x 1,2 时， f(x) 的最小值为1，且f(x) g(x) 为奇函数，求函数f(x) 的表达式 解： 设f(x) ax 2 bxc(a0)， 则f(x) g(x) (a1)x 2bx c3， 又f(x) g(x) 为奇函数， a1，c3. f(x) x 2 bx 3，对称轴x b 2. 当 b 22，即 b 4 时，f(x) 在 1,2 上为减函数， f(x) 的最小值为f(2) 42b 31. b3. 此时无解， 当 1 b 22，即 4b2时， f(x)minf b 2 3 b 2 4 1， b22. b 22，此时f(x) x 22 2x 3， 当 b 2 1，即 b2 时，f(x) 在 1,2 上为增函数， f(x) 的最小值为f( 1) 4b1. b3. f(x) x 23x 3. 用心 爱心 专心7 综上所述，f(x) x 22 2x3， 或f(x) x 23x 3. 18(2010 年舟山调研 ) 已知函数f(x) x 2a x( x0，常数aR) (1) 讨论函数f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若函数f(x) 在2 ， ) 上为增函数，求实数a的取值范围 解： (1) 当a0 时，f(x) x 2 对任意 x( ， 0)(0， ) ， 有f(x) ( x) 2 x 2 f(x) ，f(x) 为偶函数 当a0时，f(x) x 2a x( x0，常数aR) ， 若x1，则f( 1) f(1) 20； f( 1)f(1) ，f( 1)f(1) 函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数 综上所述，当a0 时，f(x) 为偶函数； 当a0时，f(x) 为非奇非偶函数 (2) 设 2x1x2， f(x1) f(x2) x1 2 a x1 x2 2a x2 x1x2 x1x2 x1x2(x1x2) a， 要使函数f(x) 在x2 ， ) 上为增函数， 必须f(x1) f(x2)0 恒成立 x1x24， 即a4，x1x2(x1x2)16 ， a的取值范围是 ( ， 16 19(2011 年江南十校联考) 已知函数f(x) ax 3bx2 cx在x1 处取得极值，且在 x0 处的切线的斜率为3. (1) 求f(x) 的解析式； (2) 若过点A(2，m) 可作曲线yf(x) 的三条切线，求实数m的取值范围 解： (1)f(x)3ax 22bx c 依题意 f13a2bc 0 f13a2bc0 ? b0 3ac 0 又f(0) 3 用心 爱心 专心8 c 3 a1 f(x) x 3 3x (2) 设切点为 (x0，x0 33x 0) ， f(x) 3x 23， f(x0) 3x0 2 3 切线方程为y(x0 33x 0) (3x0 23)( xx0) 又切线过点A(2，m) m(x0 33x 0) (3x0 23)(2 x0) m 2x0 3 6x 0 26 令g(x) 2x 36x26 则g(x) 6x 212x 6x( x2) 由g(x) 0 得x 0 或x 2 g(x) 在( ， 0) 单调递减， (0,2) 单调递增， (2 ， ) 单调递减 g(x)极小值g(0) 6，g(x)极大值g(2) 2 画出草图知，当6m2时，m 2x 36x26 有三解， 所以m的取值范围是( 6,2) 20(2011 年东北三校联考) 已知函数f(x) 1 3x 3 ex 2 mx1(mR) ，g(x) ln x x . (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 对任意x1，x2R ，若 g(x1)f(x2) 恒成立，求实数m的取值范围 解： (1)f(x)x 22exm ，令4(e 2 m) ( ) 当me 2 时，f(x) 0 f(x) 在 R上递增 ( ) 当m0 令f(x)0 ?xee 2 m f(x) 在( ，ee 2 m) 和(ee 2 m， ) 递增 令f(x)0 ?ee 2 mx0 时，f(x)minme 2 ?x1，x2R ， g(x1)f(x2) ?g(x)maxf(x)min 1 ee 21 e. 21(2011 年临沂模拟 ) 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米、余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256 万元；距离为x