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高中数学8.1正弦定理学案湘教版必修4 - 1 - / 3 正弦定理学案 【预习达标】 在 ABC中,角 A、B、C的对边为a、 b、c, 1. 在 RtABC中, C=90 0, csinA= ,csinB= ,即 sin a A = 。 2. 在锐角 ABC中,过 C做 CD AB于 D,则 |CD|= = ,即 sin a A ,同 理得,故有 sin a A 。 3. 在钝角 ABC中,B为钝角,过 C做 CD AB交 AB的延长线D, 则|CD|= = , 即 sin a A ,故有 sin a A 。 【典例解析】 例1 已知 ABC ,根据下列条件,求相应的三角形中其他边和角的大小: (1) A=60 0, B=450, a=10; (2) a=3,b=4,A=30 0; (3) a=5,b=2,B=120 0; (4) b=3 6,c=6,B=120 0. 例 2 如图,在 ABC中, A的平分线AD与边 BC相交于点D,求证: BDAB DCAC 【达标练习】 1.已知 ABC ,根据下列条件,解三角形: (1)A=60 0,B=300,a=3; (2) A=450,B=750,b=8; ( 3)a=3,b= 3,A=60 0; A B C D 高中数学8.1正弦定理学案湘教版必修4 - 2 - / 3 2. 求证:在 ABC中, sinsin sin ABab Cc 3. 应用正弦定理证明:在ABC中, 大角对大边,大边对大角. 4在 ABC中, sin 2A+sin2B=sin2C,求证: ABC是直角三角形。 参考答案 【预习达标】 1a,b, sinsin bc BC . 2.bsinA asinB , sin b B , sin a Asin c C , sin b B = sin c C . 3. .bsinA asinB , sin b B , sin b B = sin c C . 【典例解析】 例 1(1)C=750 ,b= 10 6 3 ,c= 1525 6 3 (2)B 41.80,C 108.8 0,c 5.7 或 B138.20, C 11.8 0, c1.2(3) 无解( 4)C=450,A=150,a2.2 例 2 证明:如图在ABD和 CAD中,由正弦定理, 得 sinsin BDAB , 0 sinsin(180)sin DCACAC , 两式相除得 BDAB DCAC 【双基达标】 1 ( 1)C=90 0,b= 3,c=23(2)C=120 0,a=8 38 ,c=1224 6 A B C D 1800 高中数学8.1正弦定理学案湘教版必修4 - 3 - / 3 (3)B=60 0,C=900,c=2 3 2证明:设 sinsinsin abc k ABC ,则sin,sin,sinakA bkB ckC sinsinsinsin sinsin abkAkBAB ckCC 3 (1) 设 AB , 若 A90 0, 由正弦函数的单调性得 sinA sinB, 又由正弦定理得ab; 若 A90 0, 有 A+B1800-AB, 由正弦函数的单调性得 sin(180 0-A)sinB, 即 sinAsinB, 又 由正弦定理得ab.(2) 设 ab, 由正弦定理得sinAsinB,若 B90 0, 则在 ABC中 Asin (180 0-B)由正弦函数的单调性得 A180 0-B, 即 A+B1800, 与三角形的内角和为 180 0 相矛盾;若A90 0, 则 AB ;若 A900,BB.综上得,在 ABC中, 大角对大边,大边对大角. 4略
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