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用心爱心专心1 平面向量的坐标运算 教学目标: 掌握已知平面向量的和、差,实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用. 教学重点: 平面向量的坐标运算. 教学难点: 平面向量的坐标运算. 教学过程: . 复习回顾 平面向量的坐标运算法则. . 讲授新课 例 1已知A( 1, 1) ,B(1 ,3) ,C(2 ,5) ,那么AB 与AC 是否共线 ?线段AB与线段 AC是否共线 ? 解:AB (1 (1) ,3( 1) (2 ,4), AC (2 ( 1) ,5( 1) (3 ,6),又 2634 0, AB AC , AB 与AC 共线 . 又直线AB与直线AC显然有公共点A, A、B、C三点共线,即线段AB与线段AC共线 . 综上,AB 与 AC 共线,线段AB与线段AC也共线 . 例 2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 ( 2,1)、( 1,3) 、(3,4) , 求顶点D的坐标 . 对此题,课本是利用向量相等( 即AB DC ) 来求解的,较为简便 . 另外,此题若利用同学 们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的,为开拓同学们的解题思路, 下面就介绍这下面六种解法. 解法一: ( 利用向量加法) 先依题意在坐标系内作出ABCD( 如图 ) ,设顶点D的坐标为 (x,y) ,并连结OA、OD, 则OD OA AD . AD BC , OD OA BC (x,y) ( 2,1) (3( 1) ,43) ( 2,1) (4,1) (2,2) 顶点D的坐标为 (2 ,2). 解法二: ( 利用向量减法) 先依题意在坐标系内作出ABCD( 如图 ) ,设顶点D的坐标为 (x,y) ,并连结OA、OD, 则OD AD AO 用心爱心专心2 AD BC , OD BC AO , (x,y) (3 ( 1) ,43) (0 ( 2) ,01) (4 ,1) (2 , 1) (2,2) 顶点D的坐标为 (2 ,2). 解法三: ( 利用中点的向量表达式) 如图,在ABCD中,AC的中点M即是BD的中点 . OM 1 2 ( OA OC ) 1 2 ( OB OD ) , OA OC OB OD , OD OA OC OB ( 2,1)(3 ,4)( 1,3) (2,2). 顶点D的坐标为 (2 ,2). 解法四: ( 利用中点坐标公式) 如图,在ABCD中,AC的中点即为BD的中点,设点D的坐标为 (x,y) ,则 2 41 2 3 2 32 2 1 y x . 解得x2,y2. 顶点D的坐标为 (2 ,2). 解法五: ( 利用平面内两点间的距离公式) 如图,设点D的坐标为 (x,y). 在ABCD中,AB DC , BC AD , 有 2222 2222 )1()2() 34() 13( )4()3() 13()21( yx yx 解得 2 2 y x , 17 69 17 13 y x . 经检验 2 2 y x 是方程组的解 . 顶点D的坐标为 (2 ,2). 解法六: ( 利用平行四边形对边的向量相等) 如上图,设顶点D的坐标为 (x,y) , 在ABCD中,AD BC ,AD (x2,y 1) , BC (4 ,1) , (x2,y1) (4 ,1), 用心爱心专心3 即 11 42 y x ,解得x 2,y2, 顶点D的坐标为 (2 ,2). 例 3在OAB中,OA a,OB b,设点M分AB 所成的比为21,点N分OA 所成的比 为 31,而OM和BN交于点P,试用a和b表示OP. 解:OM OA AM OA 2 3 AB OA 2 3 ( OB OA ) 1 3 OA 2 3 OB 1 3 a 2 3 b OP 与OM 共线,设 OP t 3 a2t 3 b 又NP 与NB 共线,设NP sNB , OP ON NP ON sNB ON s(OB ON ) (1 s) ON sOB 3 4 (1 s) OA sOB 3 4 (1 s)asb 由知 3 2 , 3 )1 ( 4 3 t s t s t 9 10 ,OP 3 10 a 3 5 b 例 4向量b( 3,1),c(2 ,1) ,若向量a与c共线,求ba的最小值 . 解:设ac(2, ) , 则ba( 32, 1) , ba 22 ) 1()32(10105 2 5) 1(5 2 5 ba的最小值为5,此时ac. 例 5已知b的方向与a( 3,4) 的方向相同,且b 15,求b. 解:设a的单位向量为e, 则e | a a ( 3 5 ,4 5 ); b与a方向相同 用心爱心专心4 bbe15( 3 5 , 4 5 ) ( 9,12) b( 9,12). . 课堂练习 课本 P76练习 1,2, 3 . 课时小结 通过本节学习, 要求大家掌握平面向量的坐标表示,熟练平面向量的坐标运算,并能进 行简单的应用 . . 课后作业 课本 P77习题 5 ,6,7,8 平面向量的坐标运算 1已知a( 1,3) ,b(x,1) ,且ab,则x等于() A.3 B. 1 3 C. 3 D. 1 3 2已知A(x,2) ,B(5,y2) ,若AB ( 4,6) ,则x、y的值为() A.x 1,y0 B.x1,y10 C.x1,y 10 D.x 1,y 10 3已知M(3, 2) ,N( 5, 1) ,MP 1 2 MN ,则P点的坐标为() A. ( 8,1)B.( 1, 3 2 ) C.(1, 3 2 )D.( 8, 1) 4若a 1 2 b(1,2) ,ab(4 ,10) ,则a等于() A. ( 2, 2) B. (2,2) C.( 2,2)D.(2, 用心爱心专心5 2) 5若向量a( 1,x) ,b (x,2)共线且方向相同,则x . 6已知向量OA (k,12) ,OB (4,5) ,OC (10,k)若A、B、C三点共线, 则k . 7已知 |a| 23 ,b( 1,3 ) ,且ab,则a . 8已知作用于坐标原点的三个力F1(3,4) ,F2(2, 5) ,F3( 3,1) ,求作用于原点的合 力F1F2F3的坐标 . 9设A、B、C、D四点坐标分别为(1,0) , (0,2) , ( 2, 3 2 ) , ( 3 2 , 1 2 ) ,求证:ABCD 为梯形 . 10已知A(2, 3) ,B( 1,5) ,满足AC 1 3 AB ,AD 3AB ,AE 1 4 AB ,求C、D、E三点 坐标 . 平面向量的坐标运算答案 1D 2 B 3 B 4 D 5 2 611 或 2 7 (3 ,3)或(3 , 3) 8解:由F1F2F3( 3,4)( 2, 5)( 3,1)( 8,0) 9证明:AB ( 1,2) ,DC ( 1 2 ,1) 1 2 AB DC AB ,且 | AB | 2|DC | 四边形 ABCD为梯形 . 10解:由A(2,3) ,B( 1, 5)得AB ( 3,2) AC 1 3 AB ( 1, 2 3 )C( 1,11 3 ) AD 3AB ( 9,6)D( 7,9) 又AE 1 4 AB ( 3 4 , 1 2 )E( 11 4 ,5 2 )
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