用心爱心专心 函数的单调性（一） 一、选择题： 1在区间 (0 ， ) 上不是增函数的函数是（） Ay=2x1 By=3x 21 Cy= x 2 Dy=2x 2 x1 2函数f(x)=4x 2 mx 5 在区间 2，上是增函数，在区间( ， 2) 上是减函 数，则f(1) 等于（） A 7 B1 C17 D25 3函数f(x) 在区间 ( 2，3) 上是增函数，则y=f(x5) 的递增区间是（） A(3， 8) B( 7， 2) C( 2，3) D(0 ，5) 4函数f(x)= 2 1 x ax 在区间 ( 2， ) 上单调递增，则实数a的取值范围是（） A(0， 2 1 ) B( 2 1 ，) C( 2，)D( ， 1)(1，) 5 已知函数f(x) 在区间 a，b 上单调 ， 且f(a)f(b) 0， 则方程f(x)=0 在区间 a，b 内 （） A至少有一实根B至多有一实根 C没有实根D必有唯一的实根 6已知函数f(x)=82xx 2，如果 g(x)=f( 2 x 2 ) ，那么函数 g(x) （） A 在区间 ( 1，0) 上是减函数B在区间 (0 ，1) 上是减 函数 C 在区间 ( 2，0) 上是增函数D在区间 (0 ，2) 上是增 函数 7已知函数f(x) 是 R 上的增函数，A(0， 1) 、 B(3，1) 是其图象上的两点，那么不等式 |f(x 1)| 1 的解集的补集是（） A ( 1，2) B(1 ，4) C ( ， 1)4 ，）D( ， 1)2 ， ） 8已知定义域为R的函数f(x) 在区间 ( ， 5) 上单调递减，对任意实数t，都有f(5 t) f(5t) ，那么下列式子一定成立的是（） Af( 1) f(9) f(13) Bf(13) f(9) f( 1) Cf(9) f( 1)f(13) Df(13) f( 1) f(9) 9函数)2()(|)(xxxgxxf和的递增区间依次是（） A 1 ,(,0,(B), 1 ,0,( C 1 ,(),0D),1 ),0 10已知函数 2 212fxxax 在区间4,上是减函数，则实数a的取值范围是（） 用心爱心专心 Aa3 Ba 3 Ca5 Da3 11 已知f(x) 在区间(， ) 上是增函数，a、bR且ab0， 则下列不等式中正确的是（） Af(a) f(b) f(a) f(b) Bf(a) f(b) f( a) f( b) Cf(a) f(b) f(a) f(b) Df(a) f(b) f( a) f( b) 12定义在R 上的函数y=f(x) 在( ， 2)上是增函数，且y=f(x2)图象的对称轴是x=0，则 （） Af( 1) f(3) Bf (0) f(3) Cf ( 1)=f ( 3) Df(2) f(3) 二、填空题： 13函数y=(x 1) -2 的减区间是 _ _ 14函数y=x2x12 的值域为 _ _ 15、 设yfx是R上的减函数， 则 3yfx的单调递减区间为 . 16 、 函 数f(x) =ax 2 4(a 1)x 3在 2 ， 上 递 减 ， 则a的 取 值 范 围 是 _ 三、解答题： 17f(x) 是定义在 ( 0 ， ) 上的增函数，且f( y x ) = f(x) f(y) （1）求f(1) 的值 （2）若f(6)= 1 ，解不等式 f( x 3 ) f( x 1 ) 2 18函数f(x)= x 31 在 R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在 R上是增函数还是 减函数？试证明你的结论 19试讨论函数f(x)= 2 1x在区间 1，1上的单调性 用心爱心专心 20设函数f(x)=1 2 xax，(a0) ，试确定：当a取什么值时，函数f(x) 在 0， ) 上为单调函数 21已知f(x) 是定义在 ( 2， 2)上的减函数，并且f(m1) f(1 2m) 0，求实数m的取 值范围 22已知函数f(x)= x axx2 2 ，x 1， （ 1）当a= 2 1 时，求函数f(x) 的最小值； （2）若对任意x1 ，)，f(x) 0 恒成立，试求实数a的取值范围 用心爱心专心 参考答案 一、选择题：CDBBD ADCCA BA 二、填空题：13. (1， ) ， 14. (， 3) ，15.3,， 2 1 , 三、解答题：17. 解析：在等式中0yx令，则f(1)=0 在等式中令x=36，y=6 则 . 2)6(2)36(),6()36() 6 36 (fffff 故原不等式为：),36() 1 ()3(f x fxf即fx(x3) f(36) ，又f(x) 在(0 ， ) 上为增函数， 故不等式等价于：. 2 3153 0 36)3(0 0 1 03 x xx x x 18. 解析：f(x) 在 R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下： 设x1、x2( ， ) ， x1x2，则f(x1)=x1 31， f(x2)= x2 31 f(x1) f(x2)=x2 3 x1 3=( x2x1)(x1 2 x1x2x2 2)=( x2x1) (x1 2 2 x ) 2 4 3 x2 2 x1x2，x2x10 而(x1 2 2 x ) 2 4 3 x2 20， f(x1) f(x2) 函数f(x)= x 31 在( ， ) 上是减函数 19. 解析：设x1、x2 1，1且x1x2，即 1x1x21 f(x1) f(x2)= 2 1 1x 2 2 1x= 2 2 2 1 2 2 2 1 11 )1()1( xx xx = 2 2 2 1 1212 11 )( xx xxxx x2x10， 2 2 2 1 11xx0，当x10，x20 时，x1x2 0，那么f(x1) f(x2) 当x10，x2 0 时，x1x20，那么f(x1) f(x2) 故f(x)= 2 1x在区间 1， 0上是增函数，f(x)= 2 1x在区间 0， 1上是减 函数 20. 解析：任取x1、x20，且x1x2，则 用心爱心专心 f(x1) f(x2)=1 2 1 x1 2 2 xa(x1x2)= 11 2 2 2 1 2 2 2 1 xx xx a(x1x2) =(x1x2)( 11 2 2 2 1 21 xx xx a) (1) 当a1 时， 11 2 2 2 1 21 xx xx 1， 又x1x20，f(x1) f(x2) 0，即f(x1) f(x2) a1 时，函数f(x) 在区间 0， ) 上为减函数 (2) 当 0a1 时，在区间0，上存在x1=0，x2= 2 1 2 a a ，满足f(x1)=f(x2)=1 0a1 时，f(x) 在，上不是单调函数 注：判断单调性常规思路为定义法； 变形过程中 11 2 2 2 1 21 xx xx 1 利用了1 2 1 x|x1| x1;1 2 2 xx2； 从a的范围看还须讨论0a1 时f(x) 的单调性，这也是数学严谨性的体现 21. 解析：f(x) 在( 2，2) 上是减函数 由f(m1) f(12m) 0，得f(m1) f(12m) 3 2 2 3 2 1 31 211 ,2212 212 m m m mm m m 即解得 3 2 2 1 m，m的取值范围是 ( 3 2 , 2 1 ) 22. 解析： (1) 当a= 2 1 时，f(x)=x x2 1 2，x1，) 设x2x11，则f(x2) f(x1)=x2 1 1 2 2 1 2 1 x x x =(x2x1) 21 21 2xx xx =(x2x1)(1 21 2 1 xx ) x2x11，x2x10，1 21 2 1 xx 0，则f(x2) f(x1) 可知f(x) 在 1， ) 上是增函数f(x) 在区间 1，)上的最小值为f(1)= 2 7 (2) 在区间 1，)上，f(x)= x axx2 2 0 恒成立x 22x a0 恒成立 设y=x 22x a，x1， ) ，由y=(x1) 2 a1 可知其在 1 ， ) 上是增函数， 用心爱心专心 当x=1 时，ymin=3a，于是当且仅当ymin=3a0 时函数f(x) 0 恒成立故a 3