用心 爱心专心1 立几中的最值问题四则 1. 用配方法求距离的最值 例 1. 如图 1，正方形ABCD 、ABEF边长都是1，且平面ABCD 、ABEF互相垂直，点M在 AC上移动，点N在 BF上移动，若CMBNaa()02。试求当a 为何值时， MN 的值最小。 图 1 分析：此题的解题关键是想用含a 的代数式表示距离，再用配方法求最值。 解：过 M作MHAB，垂足为H，连结 NH ，如图 1 所示。 在正方形ABCD 中，AB CB， 所以BCMH/ /， 因为平面AC平面 AE ， 所以MH平面 AE ，即MHNH。 因为CMBNa ABCBBE,1， 所以ACBF2 即AMa2， MHAHa BHa1 2 2 2 2 ,， 由余弦定理求得NHa 2 2 。 所以MNMHNH 22 ()() ()() 1 2 2 2 2 21 2 2 1 2 02 22 2 2 aa aa aa 用心 爱心专心2 当a 2 2 时，MN 2 2 ，即 M 、N分别移到AC 、BF的中点时， MN的值最小，最小 值为 2 2 2. 结合实际找最值位置 例 2. 在一张硬纸上， 抠去一个半径为3的圆洞， 然后把此洞套在一个底面边长为4， 高为 6 的正三棱锥A BCD上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最 大值是 _。 图 2 解：如图2 所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在BCD 处。设正三棱锥ABCD的顶 点 A在平面 BCD上的射影为A ，在平面BCD 上的射影为O 。 连结 BA 、BO 并延长分别交CD 、CD 于 E、E 点，则 平面B C D/平面 BCD ， 所以 B E BE B C BC ， B EB OBEBA 3 2 3 2 ， 即 B O BA B C BC 。 又因为BAB OBC, 4 3 3 34， 所以B C3 又 AO AA B C BC ， 所以AO B C BC AA 9 2 ， 用心 爱心专心3 即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是 9 2 。 3. 利用函数的有界性求体积最值 例 3.如图 3， 已知在ABC中，C90，PA平面 ABC ，AE PB于 E，AF PC 于 F，APAB2，AEF，当变化时，求三棱锥PAEF体积的最大值。 图 3 解：因为PA平面 ABC BC平面 ABC ， 所以PA BC 又因为BC AC PAACA,， 所以BC平面 PAC ， 又AF平面 PAC ， 所以BC AF， 又AF PC PCBCC,， 所以AF平面 PBC ，即AF EF。 EF是 AE在平面 PBC上的射影， 因为AE PB， 所以EF PB， 即PE平面 AEF 。 在三棱锥PAEF中， APABAE PB2,， 所以PEAE22,， 用心 爱心专心4 AFEF VSPE PAEFAEF 22 1 3 1 3 1 2 222 sin ,cos sincos ， 2 6 2sin 因为0 2 ， 所以02021，sin 因此，当 4 时，VP AEF 取得最大值为 2 6 。 4. 结合图形列方程求解。 例 4. 棱长为 2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然 后再放入一个铁球， 使它淹没水中， 要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？ 图 4 解：过正方形对角线的截面图如图4 所示。 ACAO 1 2 33,， ASAOOS31 设小球的半径为r 。 在AO DAOr 11 3中， ASAOO S 11 ， 所以313rr， 解得rcm23()，为所求。