第二章 一阶微分方程的初等解法,2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,2020/8/5,常微分方程,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,2020/8/5,常微分方程,例：,分离变量:,两边积分:,2020/8/5,常微分方程,注:,解:,积分得:,2020/8/5,常微分方程,故方程的所有解为:,2020/8/5,常微分方程,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,2020/8/5,常微分方程,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,2020/8/5,常微分方程,即,故方程的通解为,2020/8/5,常微分方程,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,2020/8/5,常微分方程,2020/8/5,常微分方程,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,2020/8/5,常微分方程,(I) 形如,方程称为齐次方程,求解方法:,2020/8/5,常微分方程,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,2020/8/5,常微分方程,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,2020/8/5,常微分方程,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,2020/8/5,常微分方程,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,2020/8/5,常微分方程,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,2020/8/5,常微分方程,这就是变量分离方程,2020/8/5,常微分方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.,2020/8/5,常微分方程,解的步骤:,2020/8/5,常微分方程,解:,解方程组,2020/8/5,常微分方程,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,2020/8/5,常微分方程,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,2020/8/5,常微分方程,以及,2020/8/5,常微分方程,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,2020/8/5,常微分方程,三、应用举例,例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体积和表面积的关系得,2020/8/5,常微分方程,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,2020/8/5,常微分方程,作业,P31 1, 3, P31 6,9;13,15,18(2),