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,机械工程控制基础,第二章 系统的数学模型,一、引言,数学模型:描述系统动态特性的数学表达式,时域数学模型:,微分方程(连续系统),差分方程(离散系统),状态方程,复域数学模型:,传递函数(连续系统),Z传递函数(离散系统),频域数学模型:,频率特性,数学建模的一般方法:,1.分析法:,根据系统或元件所遵循的有关定律来建模,2.实验法:,根据实验数据整理拟合数模,连续系统的微分方程的一般形式:,分别为系统输出和输入;,为微分方程系数,若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数,则微分方程表示的系统为线性系统;否则,系统为非线性系统。对线性系统,若系数为常数则为线性定常系统。,线性定常系统,线性时变系统,非线性系统,线性系统的叠加原理,列写微分方程的一般方法:,确定系统的输入量和输出量。 注意:输入量包括给定输入量和扰动量,2. 按信息传递顺序,从系统输入端出发,根据各变量所遵 循的物理定律,列写系统中各环节的动态微分方程。,注意:负载效应,非线性项的线性化。,3. 消除中间变量,得到只包含输入量和输出量的微分方程。,4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧,输入有关项 放在方程右侧,各阶导数项降阶排列。,二、系统微分方程,质量,弹簧,阻尼,一)机械系统,电路元件两端电位差v21,二)电网络,电感,电阻,电容,两端相对速度v21,例1:图示机械系统 m-c-k,列写微分方程。,1. 明确:,2. 牛顿第二定律 列写原始微分方程:,3. 整理:,系统输入 f (t) 系统输出 x(t),例2:图示电网络,列写微分方程。,1. 明确系统的输入与输出:,输入u(t),输出电量q,2. 列写原始微分方程:,3. 消除中间变量,并整理,例3:列写微分方程,1. 明确:输入T,输出x(t),2. 微分方程:,3. 消除中间变量 f、q,并整理:,q0,例4:图示电网络,列写微分方程。,1. 明确系统的输入与输出:,输入u1,输出u2,2. 列写微分方程:,3. 消除中间变量 i1、i2,并整理:,例5 直流电动机,1. 明确输入与输出:,输入ua 和ML,输出w,2. 列写原始微分方程:,3.消除中间变量,并整理:,电机的反电势ed 反电势常数kd 电磁力矩M 电磁力矩常数km,得,设平衡点,设电动机处于平衡态,导数为零,静态模型,当偏离平衡点时,有,则,增量化,即有,1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同,2. 当平衡点为坐标原点时,二者等价;否则,二者不等价。,线性化的条件:,1. 非线性函数是连续函数(即不是本质非线性)。,2. 系统在预定工作点附近作小偏差运动,线性化的方法:,1. 确定预定工作点。,2. 在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。,3. 忽略高阶小项。,4. 表示成增量化方程的形式。,非线性方程的线性化,例6 液压伺服机构,1. 明确 输入 x,输出y,2. 列写原始微分方程,液压油流量,设,滑阀特性,3. 非线性函数线性化:,(1) 确定系统预定工作点,(2) 二元泰勒公式展开,已略去高阶小量,例6 液压伺服机构,3. 非线性函数线性化:,(1) 确定系统预定工作点,(2) 二元泰勒公式展开,(3) 增量方程,4. 代入原方程,整理得,1. 非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。,2. 线性化的结果与系统的预定工作点有关。,3. 非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。,线性化特点:,如:本例中,不同预定点的kq、kc不同,三、相似系统,数学模型形式相同,组成系统的 物理元件不同,相似系统:具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。,相似量:,质量元件,弹簧元件,阻尼元件,电感元件,电阻元件,电容元件,四、系统传递函数,连续系统的微分方程的一般形式:,在零初始条件下,对方程两边拉氏变换,得:,系统固有特性,系统与外界联系,传递函数,传递函数定义:,零初始条件下,线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,传递函数特点:,1.传递函数是关于复变量s的复变函数,为复域数学模型;,2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性, 传递函数的分子反映系统与外界的联系;,3. 在零初始条件下,当输入确定时,系统的输出完全取决于系 统的传递函数,4.物理性质不同的系统,可以具有相同的传递函数(相似系统),传递函数方框,零点:,影响瞬态响应曲线的形状,不影响稳定性。,极点:,决定系统瞬态响应的收敛性,决定稳定性。,放大系数(增益):,设阶跃信号输入,对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。,系统的稳态输出,传递函数的零极点模型,微分方程的特征根,例1:求图示系统的传递函数,1.确定系统输入与输出:,2.列写原始微分方程:,3.在零初始条件下,进行拉氏变换:,4.消除中间变量,并整理得:,3.在零初始条件下,进行拉氏变换:,5.传递函数,系统传递函数往往是高阶的,高阶传递函数可化为比例、惯性、积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合,1. 比例环节,动力学方程:,传递函数:,特点:输出量与输入量成正比;不失真,不延迟。,例:,输出正比于输入,五、典型环节传递函数,存在储能元件和耗能元件。 阶跃输入时,输出经过一段时间才到稳态值。,输出的导数与输出之和正比于输入,动力学方程:,传递函数:,特点:,2. 惯性环节,例1:,例2:,3. 微分环节,动力学方程:,传递函数:,特点:,一般不能单独存在,增加阻尼; 强化噪声。,输出正比于输入的变化率,例1:,微分运算电路,机械液压阻尼器,缓冲,减小偏移幅度,油缸力平衡,节流阀流量,例2:,若T1,4. 积分环节,动力学方程:,传递函数:,若输入单位阶跃信号 xi(t)=1 , Xi(s)=1/s,特点:,输出正比于输入的累积量,则输出为,1). 输出反映输入量的累积,2). 输出滞后于输入, 经过时间T ,输出才等于输入,3). 输出具有记忆功能 经过一段时间后,输入变为0,输出稳定不变,例1:,例2:积分运算电路,式中,,凡有储存或积累特点的元件、环节、系统都有积分特性,如:水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分,5. 振荡环节,无阻尼固有频率wn,时间常数T=1/ wn , 阻尼比x,(1) 0 x 1 时,输出振荡。,(2) x 1时,输出无振荡,不是振荡环节,且x越小,振荡越剧烈,(3) 振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件,特点:,例1:,例2 旋转运动的J-c-k系统,例3 L-R-C电路,6. 延时环节,特点:输出滞后于输入,但不失真,延时环节与惯性环节和比例环节有区别,惯性环节,比例环节,延时环节,动力学方程:,传递函数:,例:轧钢厂钢板厚度检测,一个元件几种环节作用 几个元件一个环节的作用,2. 物理框图:说明物理过程和原理, 框图中,元器件或零部件,典型环节传递函数小结,1. 物理元件个数不一定等于系统的环节个数,3. 同一物理元件在不同系统中,可能作用不同,其 传递函数也不同,可能充当不同典型环节。,传函框图:表示信息传递关系框图中,各环节传递函数,六、系统传递函数方框图,传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示,并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。,传递函数方框图三要素,传递函数方框,相加点,分支点,建立传递函数方框图的步骤,(1) 列写各元件微分方程,(2) 在零初始条件下,对上述微分方程进行拉氏变换,(3) 按因果关系,绘制各环节框图,(4) 按信号流向,依次连接各环节框图 左边输入,右边输出,反馈则“倒流”,例1:,1. 列写微分方程:,2.Laplace变换:,3.局部传递函数框图:,4. 系统传递函数框图:,1. 列写微分方程:,2.Laplace变换:,例2:,3.局部传递函数框图:,4. 系统传递函数框图:,变换前后输入输出间的数学关系保持不变,1.串联环节的等效规则:,七、传递函数方框图的等效简化,2.并联环节的等效规则:,3. 反馈连接及其等效规则,前向通道传递函数,反馈通道传递函数,以反馈量B(s)为输出的开环传递函数,闭环传递函数,反馈回路闭合后,3. 反馈连接及其等效规则,特别地,若H(s)=1,则为单位反馈,注意:,前向通道传递函数、反馈通道传递函数、开环传递函数均为局部传递函数;闭环传递函数才是系统传递函数,4. 分支点的移动规则,5. 相加点的移动规则,6.相邻相加点的移动规则:,7.相邻分支点的移动规则:,例1:,简化步骤:消除交叉回路,对嵌套回路,从里到外逐步化简,例2:,一条前向通道:,各反馈回路有公共传递函数方框G2,各反馈回路有公共传递函数方框G2,一般地,当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件:,1)只有一条前向通道;,2)各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。,则:系统传递函数可简化成,例3:,八、考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,只考虑给定输入时:,只考虑干扰输入时:,线性系统总的输出量:,结论:,1. 闭环系统可抑制干扰的幅度。,2. 闭环系统输入、输出取法不同,则传函不同, 但传函分母不变,系统总的输出量:,极小值,而开环系统却不然。,反映系统本身固有特性;,例1 已知RLC电路,确定电路 的状态变量和状态方程,解:微分方程 模型,选i和uc为状态变量,状态方程,一阶导形式,状态方程,矩阵形式,九、状态空间模型,状态方程,一阶导形式,状态方程,矩阵形式,输出方程,矩阵形式,状态向量,状态空间:由x1轴、 x2轴 xn轴组成的n维空间。,系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示。,状态向量Y,输入量 u,n维状态向量X,输出向量 Y,系统矩阵nn,控制矩阵n1,输出矩阵1n,传递矩阵11,微分方程,描述系统的 数学模型,传递函数,状态空间,必有内在的一致性,必可相互转换,单位矩阵,
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