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学习目标,理解并掌握等腰三角形的性质.,经历等腰三角形的性质的探究过程,能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.,生活中的“等腰三角形”,情景引入,定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.,等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.,底边,复习回顾,剪一剪:把一张长方形的纸按图中的红线对折,并剪去阴影部分(一个直角三角形),再把得到的直角三角形展开,得到的三角形ABC有什么特点?,知识精讲,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,知识精讲,折一折:ABC 是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?,折痕所在的直线是它的对称轴.,等腰三角形是轴对称图形.,知识精讲,找一找:把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角.,A,C,B,D,AB与AC,BD与CD,AD与AD,B 与C.,BAD 与CAD,ADB 与ADC,猜一猜: 由这些重合的角,你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想.,知识精讲,已知:ABC中,AB=AC,求证:B=C.,思考:如何构造两个全等的三角形?,猜想:等腰三角形的两个底角相等,如何证明两个角相等呢?,可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证,知识精讲,已知: 如图,在ABC中,AB=AC. 求证: B= C.,D,证明:,作底边的中线AD,则BD=CD.,AB=AC ( 已知 ),,BD=CD ( 已作 ),,AD=AD (公共边),, BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一:作底边上的中线,还有其他的证法吗?,知识精讲,已知: 如图,在ABC中,AB=AC. 求证: B= C.,D,证明:,作顶角的平分线AD,则BAD=CAD.,AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,方法二:作顶角的平分线,在BAD和CAD中,知识精讲,思考:由BAD CAD,除了可以得到B= C之外,你还可以得到那些相等的线段和相等的角?和你的同伴交流一下,看看你有什么新的发现?,解:BAD CAD,由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC,BAD=CAD. 又 ADB+ADC=180, ADB=ADC= 90 , 即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线 .,知识精讲,性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等边对等角).,性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一).,知识精讲,AB=AC, 1=2(已知), BD=CD,ADBC(等腰三角形三线合一).,AB=AC, BD=CD (已知), 1=2,ADBC(等腰三角形三线合一).,AB=AC, ADBC(已知), BD=CD, 1=2(等腰三角形三线合一).,综上可得:如图,在ABC中,知识精讲,1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.,( ),X,( ),( ),X,X,X,判断正误:,( ),( ),( ),针对练习,例1 如图,在ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC各角的度数.,【分析】(1)找出图中所有相等的角;,(2)指出图中有几个等腰三角形?,A=ABD,C=BDC=ABC;,ABC,ABD,BCD.,典例解析,(3)观察BDC与A、ABD的关系,ABC、C呢?,BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD,ABC= BDC=2 A,C= BDC=2 A.,(4)设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来., A+ ABC+ C=180 , x+2x+2x=180 ,典例解析,解:AB=AC,BD=BC=AD, ABC=C=BDC, A=ABD. 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中,有A+ABC+C=x+2x+2x=180 , 解得x=36 ,在ABC中, A=36,ABC=C=72.,【点睛】在含多个等腰三角形的图形中求角时,常常利用方程思想,通过内角、外角之间的关系进行转化求解.,典例解析,如图,在ABC中,AB=AD=DC,BAD=26,求B和C的度数.,解:AB=AD=DC B= ADB,C= DAC 设 C=x,则 DAC=x, B= ADB= C+ DAC=2x, 在ABC中, 根据三角形内角和定理,得 2x+x+26+x=180, 解得x=38.5. C= x=38.5, B=2x=77.,针对练习,例2 等腰三角形的一个内角是50,则这个三角形的底角的大小是() A65或50 B80或40 C65或80 D50或80,【解析】当50的角是底角时,三角形的底角就是50;当50的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65.故选A.,A,【点睛】等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论,典例解析,例3 已知点D、E在ABC的边BC上,ABAC. (1)如图,若ADAE,求证:BDCE; (2)如图,若BDCE,F为DE的中点,求证:AFBC.,典例解析,证明:(1)如图,过A作 AGBC于G. ABAC,ADAE, BGCG,DGEG, BGDGCGEG, BDCE; (2)BDCE,F为DE的中点, BDDFCEEF, BFCF. ABAC,AFBC.,图,图,G,【点睛】在等腰三角形有关计算或证明中,有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,典例解析,2.如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC,若1=70,则BAC的大小为() A40 B30 C70 D50,A,1.等腰三角形有一个角是90,则另两个角分别是() A30,60 B45,45 C45,90 D20,70,B,达标检测,3.(1)等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_; (2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为_; (3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.,75, 30,72,72或36,108,30,30,4.在ABC中, AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50,则底角的大小为_,70或20,【点睛】当题目未给定三角形的形状时,一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.,达标检测,5.如图,在ABC中,AB = AC,D是BC边上的中点, B = 30,求 BAD 和 ADC的度数.,解:AB=AC,D是BC边上的中点,, C= B=30, BAD = DAC,ADC = 90., BAC =180 - 30-30 = 120., = 60.,达标检测,6.如图,已知ABC为等腰三角形,BD、CE为底角的平分线,且DBCF,求证:ECDF.,DBCECB. DBCF,ECBF, ECDF.,证明:ABC为等腰三角形,ABAC,,ABCACB.,又BD、CE为底角的平分线, ,小结梳理,
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