二、数列的有关概念,四、收敛数列的性质,五、小结,三、数列极限的定义,第一节 数列的极限,一、引例,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1. 割圆术：,播放,刘徽,一、引例,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,2. 截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的有关概念,例如,(sequence),注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,2. 有界性,例如,有界；,无界,同样,3. 单调性,为单调增数列；,单调减数列,单调增数列和单调减数列统称为单调数列,4. 子数列 (subsequence),注意：,例如，,播放,三、数列极限的定义(Limit of a sequence),三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,说明:常数列的极限等于同一常数.,四、收敛数列的性质,性质1（极限的唯一性）,收敛数列的极限必唯一.,收敛数列必为有界数列.,注意：有界性只是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,性质2（有界性）,例,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,推论,性质3（保号性）,这个定理表明 若数列的极限为正（或负），则 该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.,性质4（收敛数列与其子数列间的关系）,这个定理表明 若数列有两个不同的子数列收敛于 不同的极限，则该数列是发散的.,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,