2020/8/6,1,复习引入,(Introduction),在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”,给出了“基本积分公式表” 。,但是，,对于形如,这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表,我们就无能为力了。,为此，,2020/8/6,2,第二节 换元积分法(1),第四章,一、第一类换元积分法,二、第二类换元积分法,（Integration by Substitution）,三、小结与思考题,2020/8/6,3,第二类换元法,第一类换元法,设,可导,则有,基本思路,2020/8/6,5,提示：令,例1 求,例2 求,提示：令,例3 （补充题）求,解: 令,则,故,原式 =,2020/8/6,6,例4 求,答案：,例5 求,例6 求,答案：,例7 （补充题）求,解:,例8 （课本 例7）求,答案：,2020/8/6,7,万能凑幂法,常用的几种配元形式:,2020/8/6,8,解: 原式 =,例9（补充题）求,2020/8/6,9,解: 原式 =,例11（补充题）求,解: 原式 =,例10（补充题） 求,自学课本例1819,2020/8/6,10,解法1,解法2,两法结果一样,例12（补充题）求,2020/8/6,11,解法1,例13（课本 例14）求,（与课本解法不一样）,2020/8/6,12,同样可证,或,(课本 例13 ),解法 2,2020/8/6,13,解: 原式 =,例14（补充题）求,2020/8/6,14,解:,例15 （补充题）求,2020/8/6,15,解:,原式 =,例16（补充题）求,2020/8/6,16,解: 原式=,分析:,例17 （补充题）求,2020/8/6,17,内容小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,2020/8/6,18,课后练习,习题4-2 1；2（1）（18）,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,2020/8/6,19,提示:,法1,法2,法3,2. 求,2020/8/6,20,解: 原式,3.求,2020/8/6,21,4. 求下列积分:,2020/8/6,22,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,5.,