,第三节 幂级数,一、函数项级数的概念,1.定义:,2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:,2.收敛点、发散点，收敛域、发散域:,3.和函数:,余项,对于收敛域上的任何x,有,注意,函数项级数在某点x处的收敛问题,实质上就是 常数项级数的收敛问题.,原级数发散.,收敛;,发散;,1.定义:,2.收敛域:,二、幂级数及其收敛性,定理1阿贝尔(Abel)定理,证明,证明,阿贝尔定理的几何说明:,收敛,发散,发散,收敛半径的定义:,则称R为幂级数的收敛半径.,称开区间(-R,R)为幂级数的收敛区间.,规定,问题 如何求幂级数的收敛半径?,定理2,证明,证毕.,例2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域:,解,发散，,收敛，,收敛域为：,故收敛域为：,故收敛域为：,发散,收敛,所以所求收敛域为,(0,1.,级数绝对收敛;,解,练习,级数发散;,发散;,故,原级数的收敛域为：,1.幂级数的代数性质:,(1)加减法,三、幂级数的运算性质,(2)乘法,(其中,柯西乘积,2.和函数的分析性质:,性质1,性质2,性质3,解,例3,两边积分得：,幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域及其求法;,幂级数的运算:,代数运算和分析运算；,函数项级数,和函数,收敛域等概念;,四、小结与教学基本要求:,掌握:,会求简单幂级数的和函数.,会利用幂级数的和函数求简单常数项级数的和.,练习题,1.幂级数逐项求导后，收敛半径不变， 那么收敛域是否一定也不变？举例说明.,2.,3.,4.,解:,1.幂级数逐项求导后，收敛半径不变， 那么收敛域是否一定也不变？举例说明.,不一定.,如,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,2.,解:,3.,解:,解:,4.,作业,习题 11-3 / P215: 1(1,2,7,8), 2(1,2).,