2020届高考数学总复习 （五年高考） （三 年联考）精品题库：第十三章概率与统计 第一部分五年高考荟萃 2018 年高考题 一、选择题 1. 09 山东 11在区间1,1上随机取一个数x,cos 2 x 的值介于0 到 1 2 之间的概率 为 A 1 3 B 2 C 1 2 D 2 3 【解析】 在区间 -1，1上随机取一个数x,即1,1x时,要使cos 2 x 的值介于0 到 2 1 之 间,需使 223 x 或 322 x 2 1 3 x或 2 1 3 x，区间长度为 3 2 ， 由几何概型知cos 2 x 的值介于0 到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 .应选 A. 答案A 2.(09山东文 ) 在区间, 2 2 上随机取一个数x，cosx的值介于0 到 2 1 之间的概 率为( ). A. 3 1 B. 2 C. 2 1 D. 3 2 【解析】 在区间, 22 上随机取一个数x,即, 22 x时,要使cosx的值介于0 到 2 1 之间 ,需使 23 x或 32 x，区间长度为 3 ，由几何概型知cosx的值介 于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 3 .应选 A. 答案A 3.09 安徽卷理 考察正方体6 个面的中心，甲从这6 个点中任意选两个点连成直线，乙也 从这 6 个点中任意选两个点连成直线，那么所得的两条直线相互平行但不重合的概率等 于 A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75 【解析 】如图，甲从这6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 ? A ? ? ? ? ? B C D E F 6 个点中任意选两个点连成直线，共有 22 66 15 15225CC? 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 /,/,/,ACDB ADCB AEBF/,/,/AFBE CEFD CFED 共 12 对，因此所求概率为 124 22575 p，选 D 答案D .2018 安徽卷文 考察正方体6 个面的中心，从中任意选3 个点连成三角形，再把剩下 的 3 个点也连成三角形，那么所得的两个三角形全等的概率等于 A.1 B. C. D. 0 【解析】依据正方体各中心对称性可判定等边三角形有 3 6 C个 .由正方体各中心的对称性 可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选 A。 答案 A 5、 2018 江西卷文 甲、乙、丙、丁4个足球队参加竞赛，假设每场竞赛各队取胜的概率 相等，现任意将那个4队分成两个组每组两个队进行竞赛，胜者再赛，那么甲、乙相 遇的概率为 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【解析】所有可能的竞赛分组情形共有 22 42 412 2! C C 种，甲乙相遇的分组情形恰好有6 种，应选D. 答案D 6. 2018 江西卷理 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食 品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖， 现购买该种食品5袋， 能获奖的概率为 A 31 81 B 33 81 C 48 81 D 50 81 【解析】 55 5 3(323)50 381 P应选 D 答案D 7. 2018 四川卷文 设矩形的长为a，宽为b，其比满足 ba 618.0 2 15 ，这种 矩形给人以美感，称为黄金矩形。 黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随 机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次： 0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次： 0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 依照上述两个样本来估量两个批次的总体平均数，与标准值0.618 比较，正确结论 是 A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【解析】 甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613 答案A 8. 2018 辽宁卷文 ABCD 为长方形， AB 2，BC 1，O为 AB的中点，在长方形ABCD 内随 机取一点，取到的点到O的距离大于1 的概率为 A 4 B1 4 C 8 D1 8 【解析】长方形面积为2, 以 O为圆心 ,1 为半径作圆 , 在矩形内部的部分( 半圆 ) 面积为 2 因此取到的点到O的距离小于1 的概率为 2 2 4 取到的点到O的距离大于1 的概率为1 4 答案 B . 2018 年上海卷理 假设事件E与F相互独立， 且 1 4 P EP F，那么P EF 的值等于 A0B 1 16 C 1 4 D 1 2 【解析】P EF 11 44 P EP F? 1 16 答案B 二、填空题 10. 2018 广 东 卷 理 离散型随机变量X的分布列如右表假设0EX，1DX，那 么a，b 【解析】由题知 12 11 cba，0 6 1 ca，1 12 1 211 222 ca，解得 12 5 a， 4 1 b. 答案 11. 2018 安徽卷理 假设随机变量 2 ( ,)XN，那么()P X=_. 答案 1 2 12.2018 安徽卷文 从长度分不为2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，那么以这三条 线 段为边能够构成三角形的概率是_。 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情形:2、3、4 或 3、 4、5 或 2、4、 5，故 3 4 33 4 P C =0.75. 答案0.75 13.2018 江苏卷 现有 5 根竹竿，它们的长度单位：m分不为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9， 假设从中一次随机抽取2 根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3m 的概率为. 【解析】考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取2 根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的 事件数为2，分不是： 2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为0.2。 答案0.2 14.2018 江苏卷 某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1，2，3，4， 5 的学生进行投篮练 习，每人投10 次，投中的次数如下表： 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班6 7 7 8 7 乙班6 7 6 7 9 那么以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s= . 【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小，数据的平均值为7， 故方差 22222 2(67)00(87)02 55 s 答案 15.2018 湖北卷文 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分不是0.8、0.6、 0.5 ， 那 么 三 人 都 达 标 的 概 率 是， 三 人 中 至 少 有 一 人 达 标 的 概 率 是。 【解析】三人均达标为0.80.60.5=0.24, 三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76 答案0.24 0.76 16.2018 福建卷文 点 A 为周长等于3 的圆周上的一个定点，假设在该圆周上随机取一点 B，那么劣弧AB 的长度小于1 的概率为。 【 解析】如图可设1AB,那么1AB,依照几何概率可知其整体事 件是其周长3，那么其概率是 2 3 。 答案 2 3 17 2018 重庆卷文 从一堆苹果中任取5 只，称得它们的质量如下单位：克125 124 121 123 127那么该样本标准差s克 用数字作答 【 解 析 】 因 为 样 本 平 均 数 1 (125 124 121 123 127)124 5 x， 那 么 样 本 方 差 2222221 (1313 )4, 5 sO因此2s 答案2 三、解答题 18、 2018 浙江卷理此题总分值14 分在1,2,3,9那个9自然数中，任取3个数 I求那个3数中恰有1个是偶数的概率； II 设为那个3数中两数相邻的组数例如：假设取出的数为1,2,3，那么有两组相邻 的数1,2和2,3，现在的值是2 求随机变量的分布列及其数学期望E 解 I记这3 个数恰有一个是偶数为事件A，那么 12 45 3 9 10 () 21 C C P A C ； II 随机变量的取值为0,1,2,的分布列为 0 1 2 P 5 12 1 2 1 12 因此的数学期望为 5112 012 122123 E 19、 2018 北京卷文本小题共13 分 某学生在上学路上要通过4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯 的概率差不多上 1 3 ，遇到红灯时停留的时刻差不多上2 min. 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时刻至多是4min 的概率 . 解 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A 等 于事件这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯，因此事 件 A 的概率为 1114 11 33327 P A. 设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时刻至多是4min 为事件 B，这名学 生在上学路上遇到 k次红灯的事件 0,1,2 k Bk. 那么由题意，得 4 0 216 381 P B ， 1322 12 1424 12321224 , 33813381 P BCP BC. 由于事件B 等价于这名学生在上学路上至多遇到两次红灯， 事件 B 的概率为 012 8 9 P BP BP BP B. 20、 2018 北京卷理本小题共13 分 某学生在上学路上要通过4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率差不多上 1 3 ，遇到红灯时停留的时刻差不多上2min. 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时刻的分布列及期望. 解 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件 A 等于事件这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯，因 此事件 A 的概率为 1114 11 33327 P A. 由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8单位： min. 事件2k等价于事件该学生在路上遇到k次红灯k0，1，2，3，4 ， 4 4 12 20,1,2,3,4 33 kk k PkCk ， 即的分布列是 0 2 4 6 8 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 的期望是 16328818 02468 81812781813 E. 21、 (2018 山东卷理 ) (本小题总分值12 分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3 次；在 A 处每投进一球得3 分，在 B 处每投进一球得2 分；假如前两次得分之和超过3 分即停止投篮，否那么投 第 三次，某同学在A 处的命中率q1为 0.25，在 B 处的命中率为q 2 ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用表示该同学投篮训练终止后所得的总分，其分布列 为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1P2 P3 P4 1求 q2的值； 2求随机变量的数学期望E; 3试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3 分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概 率的大小。 解 1设该同学在A 处投中为事件A,在 B 处投中为事件B,那么事件A,B 相互独立 ,且 P(A)=0.25,()0.75P A, P(B)= q 2,2 ( )1P Bq. 依照分布列知: =0 时 2 2 ()() ( ) ( )0.75(1)P ABBP A P B P Bq=0.03,因此 2 10.2q，q 2=0.8. 2当=2 时, P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP )()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75 q 2 ( 2 1q) 2=1.5 q2( 2 1q)=0.24 当=3 时