4.3量子力学公式的矩阵表示,一、平均值公式,(2) 本征方程,求解本征值和本征矢 将(4.3-4)式中等号右边部分移至左边，得：,方程（4.3-5）是一个线形齐次代数方程组：,这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：,方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组 值 它们就是F的本征值。把求得的i 分别代入 （4.3-5）式中就可以求得与这i 对应的本征矢 其中i=1,2, n, 。,(3). 薛定谔方程,左边乘以 并积分：,(4.3-7),四、例题,设已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为,求它们的本征值和归一化的本征函数，,解：,（1）求 的本征值和本征函数。,设在 和 的共同表象中， 的本征函数为 ， 为所对应的本征值。 本征方程为,即,齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即,展开后整理得 即 即 的本征值为,利用归一化条件，确定常数a1.,因此，对应于m=0 的本征函数是,利用归一化条件求a3. 即,因此，对应于m=0 的本征函数为,利用归一化条件求a2, 即,因此对应于m=-1的本征函数为,（2）求 的本征值和本征函数 设 的本征函数为 ，对应于 。即,令 ，并将 的矩阵形式代入本征方程，即有,b1,b2,b3有非零解的条件是,由此得m=0, 1.对应于,所以,同样步骤得,典型例题,用坐标轮换的方法，写出 时， 的全部本征 函数，用球函数 表达。,例1、,解：我们知道 的全部本征函数为：,上面是 的一组本征函数。根据问题的对称性， 当 的取值同样有 ，而 的本征函数，由上式将z 换为x, x换为y,y 换为z 得到，用 表示：,同样的想法，通过同样的方法，可找到对于 的 的全 部本征函数，即满足,对于所得 （ ）的全部本征函数的正确性，我们 可以验证。例如对于,即 的确是 的本征函数，本征值是 。,