2006 高考理科数学试题陕西卷（必修选修 II）注意事项：本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。2考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。3所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（共 60 分）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 P=xN|1x10,集合 Q=xR|x2+x 60, 则 PQ 等于( )A. 2 B.1,2 C.2,3 D.1,2,32.复数 等于( )(1+i)21 iA.1i B.1+i C.1+ i D.1i3. 等于( )n lim 12n(r(n2+1) r(n2 1)A. 1 B. C. D.012 144.设函数 f(x)=loga(x+b)(a0,a1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则 a+b 等于( )A.6 B.5 C.4 D.35.设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( ) A. B.2 B.2 D.42 26.等式 sin(+)=sin2 成立是、 成等差数列的( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件7.已知双曲线 =1(a )的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( )x2a2 y22 2 3A.2 B. C. D.3263 2338.已知不等式(x+y)( + )9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( )1x ayA.2 B.4 C.6 D.89.已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则ABC 为( )AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形10.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定11.已知平面 外不共线的三点 A,B,C 到 的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面 ABC 必平行于 B.平面 ABC 必与 相交C.平面 ABC 必不垂直于 D.存在ABC 的一条中位线平行于 或在 内12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密), 接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为( )A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7第二部分（共 90 分）二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分） 。13.cos43cos77+sin43cos167的值为 14.(3x )12 展开式 x3 的系数为 (用数字作答)1x15.水平桌面 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面 的距离是 16.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人), 其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 。17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= sin(2x )+2sin2(x ) (xR)3 6 12()求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.18. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是 , , .132512()现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率;()用 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 的概率分布及数学期望 E.19. (本小题满分 12 分)如图,=l , A, B,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= , 求:2() 直线 AB 分别与平面 , 所成角的大小; ()二面角 A1ABB1 的大小.ABA1 B1l第 19 题图 20. (本小题满分 12 分)已知正项数列an，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列，求数列an的通项 an .21. (本小题满分 12 分)如图,三定点 A(2,1),B(0,1),C(2,1); 三动点 D,E,M 满足 =t , = t , =t , t0,1. AD AB BE BC DM DE () 求动直线 DE 斜率的变化范围; ()求动点 M 的轨迹方程.22.（本小题满分4 分）已知函数 f(x)=x3x2+ + , 且存在 x0(0, ) ,使 f(x0)=x0. x2 14 12（I）证明：f(x)是 R 上的单调增函数；设 x1=0, xn+1=f(xn); y1= , yn+1=f(yn), 12其中n=1,2,（II）证明：xn0 , an an 1=5 (n2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列a1 3;当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.21.解法一: 如图, ()设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由 =t , = t , 知(xD 2,yD1)AD AB BE BC =t(2,2). 同理 . kDE = = xD= 2t+2yD= 2t+1) xE= 2tyE=2t 1) yE yDxE xD= 12t.2t 1 ( 2t+1) 2t ( 2t+2)t0,1 , kDE1,1.() =t (x+2t 2,y+2t1)=t( 2t+2t 2,2t1+2t1)=t(2,4t 2)=( 2t,4t2 2t). DM DE , y= , 即 x2=4y. t0,1, x=2(12t)2,2.x=2(1 2t)y=(1 2t)2) x24即所求轨迹方程为: x2=4y, x 2,2解法二: () 同上 .() 如图, = + = + t = + t( ) = (1t) OD OA AD OA AB OA OB OA +t ,OA OB = + = +t = +t( ) =(1t) +t , OE OB BE OB BC OB OC OB OB OC = + = + t = +t( )=(1t) + tOM OD DM OD DE OD OE OD OD OE = (1t2) + 2(1t)t +t2 .OA OB OC 设 M 点的坐标为(x,y), 由 =(2,1), =(0,1), =(2,1) 得OA OB OC 消去 t 得 x2=4y, t0,1, x=(1 t2)2+2(1 t)t0+t2( 2)=2(1 2t)y=(1 t)21+2(1 t)t( 1)+t21=(1 2t)2)x2,2.故所求轨迹方程为: x2=4y, x 2,222.解: （I）f (x)=3x22x+ = 3(x )2+ 0 , f(x)是 R 上的单调增函数.12 13 16（II）00 =x1, y2=f(y1)=f( )= =y1,综上, x1x2x0y2y1.14 12 3812用数学归纳法证明如下:(1)当 n=1 时,上面已证明成立 .(2)假设当 n=k(k1) 时有 xkxk+1x0yk+1yk . 当 n=k+1 时,由 f(x)是单调增函数 ,有 f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk),xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切 n=1,2,都有 xnxn+1x0yn+1yn.（III） = = yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+ (yn+xn)2(yn+xn)+ yn+1 xn+1yn xn f(yn) f(xn)yn xn 1212=(yn+xn) 2+ . 由()知 0yn+xn1. yn+xn , ( )12 14 12 12 12 yn+1 xn+1yn xn 122+ = 14 12