第二节 换元积分法,一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题,问题1,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法（凑微分法）,凑微分,问题2,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法（凑微分法）,凑微分,例1 求,解,（1）,一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分,例2 求,解,（2）,一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分,例3 求,解,（3）,一、被积函数与基本积分公式相似，可直接凑微分,例4 求,解,（1）,例2 求,解,（2）,或,二、利用被积函数因式直接凑微分,例5 求,解,（3）,例6 求,解,（4）,例7 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,（1）,的积分,三、被积函数含有三角函数,m, n至少有一个是奇数,例8 求,解,先降幂再积分。,（2）,的积分,m, n都是偶数,例9 求,解,（3）,例10 求,解,（1）,四、被积函数变形后，有因式可凑微分,解2,类似地可推出,（2）,例11 求,Ex: 求,Ex: 求,解,Ex: 求,解,Ex: 求,解,凑微分法的实质是把被积函数中的一部分“吸收”到积分变量之中，形成新的积分变量，从而使原被积式简单,凑微分法,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,则有换元公式,定理2,第二类积分换元公式,例1 求,解,凑微分法的实质是把被积函数中的一部分“吸收”到积分变量之中，形成新的积分变量，从而使原被积式简单,凑微分法,第二类积分换元公式,第二类积分换元公式,例2 求,解,令,例3 求,解,令,说明,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例5 求,令,解,基本积分表 (2),解,思考题 设,令,Ex 求,解,令,（分母的阶较高）,Ex 求,解,Ex: 求,解,令,Ex,Ex: 计算下列积分:,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),思考题,求积分,思考题解答,例11 求,解（一）,类似地可推出,（2）,这是不定积分中的换元积分法公式， 从左往右使用该公式，即为第一类换元 法；从右往使用该公式即为第二类换元法。 这是两种不同方向的思维方式，在使用时，要 根据具体问题采取适当的方法。,小结,练 习 题,练习题答案,