分部积分法,前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,注,分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。,例4 求积分,解,总结,例5 求积分,解,注：本题也可令,分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C,例6 求积分,解,注意循环形式,例7,解,例8,解,若设,则上述计算公式可表为,递推公式,例9,解一,令,解二,直接分部积分,对,分子分母同乘以,令,或,分子分母同乘以,令,解三,彻底换元,令,则,例10,分析,解,分子分母同乘以,令,例11 求积分,解,令,例12,解,类似地有,解,两边同时对 求导, 得,合理选择 ，正确使用分部积分公式,二、小结,思考题,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,