,高等数学,第七章 空间解析几何与向量代数,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,2,第五节 平面及其方程,平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 例题,平面是最简单的曲面. 平面和三元一次方程一一对应。我们主要掌握平面方程的几种表达形式，以及平面与平面. 点与平面之间的位置关系.,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,3,引例,|AM|=|BM|, 所以,两边平方并化简得,2x-6y+2z-7=0,这个垂直平分面的方程就是一个平面方程.,设有点A（1，2，3）和B（2，-1，4），求AB的垂直平分面方程.,解 由题意知， 所求平面是与A、B等距离的点的几何轨迹， 设M（x,y,z）为所求平面上 的任一点， 由于,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,5,一.平面的点法式方程,设 M0是平面上一个已知点，M是平面上任意一点， n 为平面的法向量. 因为向量MM0与法线向量n垂直，则其数量积为零.即,n=A,B,C,于是有：,如果已知：,n,这就是平面的点法式方程,可将这个三元一次方程整理为 Ax+By+Cz+D=0的形式,其中 D=-(Ax0+By0+Cz0),图 示,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,6,例1,解,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,7,例2,解,二.平面的一般方程,任意平面都可以用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示；任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面。,方程 Ax+By+Cz+D=0 （2）称作平面的一般方程. 其中x,y,z的系数A,B,C就是该平面一个法向量的坐标. 该平面法向量为 n=A,B,C.,n= A,B,C,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,9,例3,2x-3y+z-6=0,3,2,6,3x+8y+z-18=0,可以改写成,图 示,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,10,二.平面的一般方程,Ax+By=0, C=0,D=0.,C z+D=0, A =B =0,特殊三元一次方程表示图形特点,这个平面平行xOy坐标面,这个平面 经过z轴.,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,11,二. 平面的一般方程,Ax+Cz+D=0,B=0,特殊三元一次方程表示图形特点,Ax+By+Cz=0,D=0,这个平面平行y 轴.,这个平面过原点O.,三. 平面的截距式方程,设一平面与x、y、z轴的交点为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)其中a0、b0、c0,叫做平面的截距式方程,a、b、c 叫做平面在 x、y、z 轴上的截距.,P,Q,R,a,b,c,则该平面方程为,四.平面的三点式方程,已知平面上三点：P=(a,b,c),Q =(a1,b1,c1 ),R =(a2,b2,c2), 并设 M=(x,y,z)，,Q,n,则平面方程为：,五.两平面的夹角,两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角 如下图中的角.,设平面1的法向量为 n1=A1,B1,C1 设平面2的法向量为 n2=A2,B2,C2,由cos =|cos(n1,n2)| 则两平面的夹角可由两个向量夹角公式来确定.,1,2,n2,n1,四.两平面的夹角,其中 平面1的法向量为 n1=A1,B1,C1 平面2的法向量为 n2=A2,B2,C2,两个结论：,结论一 平面1与平面2互相垂直相当于：,1,2,n2,n1,因为两个法向量相互垂直 所以其数量积为零,图 示,两个结论：,结论二 平面1与平面2互相平行或重合相当于:,1,2,n2,n1,这时两个平面的法向量 相互平行,图 示,六.点到平面的距离,已知:平面1的法向量为 n1=A,B,C 平面1外一点 P0=x0,y0,z0 证明： P0到平面1的距离为,1,P0,n1,P1,N,证明思路：:平面1上取点P1=x1,y1,z1则所求距离等于向量 在法向量上n1的投影.即,学生自己推导,例4,解 将三点坐标分别代入平面一般方程Ax+By+Cz+D=0,得,A+B-C+D=0 (1) -2A-2B+2C+D=0 (2)A-B+2C+D=0 (3),解此联立方程组，得 A=1,B=-3,C=-2, D=0.,x-3y-2z=0 为所求平面方程.,方法一,求过三点 A（1，1，-1）, B（-2，-2，2）， C（1，-1，2）的平面方程.,例4,解 作向量并求其向量积,得,因为该向量垂直平面 可取 n=-3,9,6 不妨取点A(1,1,-1),可得点法式方程：,x-3y-2z=0 为所求平面方程.,方法二,求过三点 A（1，1，-1）, B（-2，-2，2）， C（1，-1，2）的平面方程.,例5,指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： （1）.x=0， y=0, z=0.,即坐标面yOz,zOx,xOy面.,图 示,例5,该平面平行于坐标面xOz 也即垂直于y轴,（2）指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： x=-1, z=2, 3y-1=0,z=2,y=1/3,x=-1,例5,2x-3y-6=0可以改写为：,y=-2,x=3,指出平面2x-3y-6=0的位置，并画出平面： (3) 2x-3y-6=0,x,该平面平行于z轴.,z,(4). x-y=0,例5,图 示,(5).y+z=0,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,25,例6,解,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,26,思考.练习.讨论,1.求平面方程关键是什么？平行三个坐标面的方程是什么？,寻找法向量n与平面上一点M0.,x=k, y=k, z=k k为任意实数,2.求过点（1，0，-1）且与平面x-5y+3z-2=0平行的平面.,x-5y+3z+2=0,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,27,思考.练习.讨论,3.依条件求平面方程： (1)平行于xOz面且经过点（2，-5，3）； (2)通过z轴和点(-3,1,-2)； (3)平行于x轴且经过两点(4,0,-2)和 （5,1,7) .,(1).y+ 5=0; (2).x+ 3y=0; (3).9y- z- 2=0.,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,28,小结,空间平面方程： （用三元一次方程表示）,向量式,一般式,点法式,截距式,三点式,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,29,附录（知识扩充）,平面束方程,这里为任意实数,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,30,C,平面作为特殊柱面可以看作母线L沿着准线C平动而成.,附录（知识扩充）,L,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,31,平面作为曲面在坐标面上的投影,投影平面,附录 知识扩充,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,32,1.求通过点M（3，1，-1）和N（4，-1，0） 且垂直于xoy坐标面的平面方程.,2.求通过点M（7，2，-3）和N（5，6，-4） 且平行于x轴的平面方程.,3.求通过点M（2，-1，3）和N（3，1，2） 且平行于向量a=3，-1，4的平面方程.,练习题,2020/8/7,天津商学院高等数学课程组,33,4.求点M（-2，4，3）到平面2x-y+2z+8=0 的距离.,练习题,5.求在x轴上且到平面x+2y-2z+1=0的距离d=2 的点的坐标.,6.求中心在A（3，-5，2）且与平面 2x-y-3z+11=0相切的球面方程.,7.求两个平行平面x-2y-2z-12=0与x-2y-2z+6=0 的距离.,