4.3内容回顾,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指弦” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,递推公式,4. 补充多次分部积分的快速计算法 :,(u是保留部分, v是凑得部分),多次分部积分,快速计算表格:,特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 .,注:,是,的原函数,例11. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,备用题.,求不定积分,解：,方法1,(先分部 , 再换元),令,则,1.,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,4.4 有理函数的积分,本节内容:,第四章,一、 有理函数的积分,1.有理函数的定义,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,若干部分分式之和,函数,称为有理函数.,其中分子分母分别为n次和m次多项式,且,总假定无公因式.,(其形式由分母的因子决定),2.多项式分解定理,其中,3.真分式分解成部分分式的和(nm),+,+,4.有理函数的积分,有理函数,的积分,转化为下列三种形式的积分,多项式的积分,(容易),(容易),(容易),记,再利用递推公式或三角替换(P206例27),(已讲但不需要记忆),至此,理论上有理函数的积分就算解决了,其原函数为初等函数.,但有两大难点:,1)部分分式中系数的确定,2)分母的因式分解,且有时无法解决.,(有时很繁),例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,(2) 用赋值法,故,通分得,得,令,得,令,得,(3) 混合法,原式 =,两边x，再取极限（x）得,再令x=0得,(4) 比较系数法,原式 =,通分后的分子恒等,比较系数得,解得,例2. 求,解: 已知,例3. 求,解: 原式,例4. 求,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换法,t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,代入原积分得,转化为,例7. 求,解: 令,则,例8. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,例9. 求,解:,原式,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例10. 求,解: 令,则,原式,例11. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例12. 求,解: 令,则,原式,( 1)+1,原式,令,例13,P218 (24),内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,作业,P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21,三角函数的积分要重视,（因为）,令,此题有多种解法,的积分,备用题1,令,（不妨设t）,还原,2.,时，得相同的结果。,可作不同的 三角代换，但很麻烦。,解:,解:令,3.,+1,原式=,