二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第二节,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,定积分,积分上限函数,一定要分清函数的,如果上限 x 在区间a,b上任意变动,每一个取定的x值,则对于,定积分有一个对应值,所以它,在a,b上定义了一个函数,设f (x)在a,b中可积,则对任一点,与,自变量x,积分变量t.,二、积分上限函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,定理1. 若,微积分基本定理,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,例1. 计算,解,例2. 求,解:,原式,例3+.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例4+.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,证,令,三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,例6. 计算定积分,解:,例7. 计算,解:,例8. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,例9.,设,，求,内的表达式.,解:当,当,例9续,综上得,例10. 设,解:,例11. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,车到停车走了多少距离?,二.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,Newton-Leibniz公式沟通了微分学与积分学之间的关系,一. 变限积分求导公式,则有,微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,思考题,思考题解答,练 习1,练习2 求,解,由图形可知,练习3 设,求,解：,定积分为常数 ,设,则,练习4 设f(x)为连续函数,且,求 f(x),备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数 ,设, 则,故应用积分法定此常数 .,2.,求,解：,的递推公式(n为正整数) .,由于,因此,所以,其中,