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第七节 二次曲面,一、二次曲面,二次曲面的定义:,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法:,用坐标面或平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,(一)椭球面,椭球面与三个坐标面的交线:,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,(二)抛物面,( 与 同号),椭圆抛物面,用截痕法讨论:,(1)用坐标面 与曲面相截,截得一点,即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 不相交.,(2)用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,(3)用坐标面 , 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,椭圆抛物面的图形如下:,特殊地:当 时,方程变为,旋转抛物面,(由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的),与平面 的交线为圆.,当 变动时,这种圆的中心都在 轴上.,( 与 同号),双曲抛物面(马鞍面),用截痕法讨论:,设,图形如下:,(三)双曲面,单叶双曲面,(1)用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上.,(2)用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,(3)用坐标面 , 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,双叶双曲面,(四)锥面,二、曲面的参数方程,椭球面、抛物面、双曲面、锥面、截痕法.,(熟知这几个常见曲面的特性),三、小结,
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