第一节,微分方程的基本概念,第十二章,二 、基本概念,一、问题的提出,一、问题的提出例1,解,例2,解,P,Q,得,曲线积分,1.微分方程:,二、基本概念,含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.,常微分方程的一般形式：,如：,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,常微分方程,偏微分方程,2. 微分方程的阶:,一阶微分方程,高阶(n2)微分方程,显式方程,隐式方程,微分方程中出现的未知函数 的最高阶导数的阶数称之.,3. 线性与非线性微分方程:,(关于 y 线性),(非线性),(关于 y 非线性),(关于x 线性),4. 微分方程的解,的解；,5. 微分方程的解的分类,(1) 通解:,n 个相互独立的任意常数c1,通俗地说，,微分方程的通解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这些常数之间没有任何关系.,(2) 特解: 不含有任意常数的解.,思考,通解是否一定包含了此方程的所有解？,不一定.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定n阶微分方程,特解的条件：,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,6. 初值问题:,求微分方程满足初始条件的解的问题.,例8,求以双参数函数族,为通解的微分方程(C1, C2为任意常数).,解,(1), 两个任意常数C1, C2 相互独立,故所求方程必是一个二阶微分方程,由,解得,代入(1)式, 整理得,的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),在2 4中, 将讨论方程,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线.,内容小结,