2020/8/7,1,第八节 函数的连续性与间断点,第一章,（Continuity and Discontinuity of Function）,三、函数的间断点,二、函数的连续性,一、问题的提出,四、小结与思考题,2020/8/7,2,一、问题的提出（Introduction）,一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性,2020/8/7,3,二、函数的连续性（Continuity of Function）,1.函数的增量,2020/8/7,5,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,且,定义2,2020/8/7,6,3. 单侧连续(One-sided Continuity),左连续 (Left Continuity) :,当,时, 有,右连续(Right Continuity) :,当,时, 有,定理,与单侧极限相类似！,2020/8/7,7,4. 连续函数(Continuous Function),则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,如果此区间包含端点，,那么,（1）函数在左端点连续是指,在左端点右连续，,（2）函数在右端点连续是指,在右端点左连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,在闭区间,上的连续函数的集合记作,2020/8/7,8,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,例如,2020/8/7,9,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,例1 证明函数,2020/8/7,10,例2 讨论函数,在,处的连续性,解由于,即左右极限不相等，所以该函数在,但是，因为,点不连续,，所以函数,在,处,右连续,2020/8/7,11,三、函数的间断点（Discontinuity of Function）,定义3,在,在,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则,这样的点,下列情形之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,2020/8/7,12,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,间断点分类:,2020/8/7,13,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,2020/8/7,14,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,2020/8/7,15,例3 当,取何值时，函数,解 因为,要使,，则需要,故当且仅当,时，函数,在,点连续,在,处连续,2020/8/7,16,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,2020/8/7,17,课后练习,习 题 1-8 2（偶数题） 5 6,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,2020/8/7,18,2. 讨论函数,在,处的连续性。,解：,右连续但不左连续,故函数,在点,不连续。,2020/8/7,19,3. 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别,习题19 3（2）,为跳跃间断点.,解：,2020/8/7,20,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,4. 确定函数,