指导数学解题的七个数学思想函数与方程的思想分类与整合的思想数与形结合的思想化归与转化的思想特殊与一般的思想有限与无限的思想“或然与必然的思想对于如何解题这样一个经常遇到又十分普通的问题不同的人有不同的处理方法.有的人在解题时,只是就题论题把解题的兴奋点集中在题型与方法的形式主义的对号和单纯的演算上因而他关心的是题目的模式和题型加方法的解题套路,常常遇到这样的场面:在解某一道题目时,同学甲是构造一个函数解决的,而同学乙没能解出来,当同学甲向同学乙介绍自己的解法时,同学乙会感慨地说:“我这么没有想到昵?“在解一道选择题时,同学丙是通过计算解出来的,用了井分铁,而同学丁则是通过画图解决的,用了一分钟,这时,同学丙也会感慨地说“我这么没有想到呻?“,这里的想到和没想到,本质上就是具备不具备数学思想,会不会用数学思想指导解题,同学乙实际上是没有考虑到用函数思想解题,没有用函数和变量去怡考,而同学丙则是对数形结合的数学思想不能运用自如.这两个同学都是在解题中没有去注意数学的札质,没有用数学的基本思想去分析题目,指导解题.正如美国杰出的数学家.柯朗(RichardCourant)在他的名著(什么是数学的序言所讲的“近些年来在许多事情的推动下,人们对数学知识与训练的需要日益增加.现今,除非学生和教师设法超越数学的形式主义并努力去把握数学的实质否则产生挫折和幻灭的危险将会更甚“数学教学有时竟演变成空洞的解题训练这种训练蛛然可以提高形式推导的能力,却不能导致真正的理解与深入的独立思考.“因此,要提高解题的能力和水平,首先就要站在较高的观点上去研究解题就要从数学木质上去看待解题,就要在解题的规程中体现数学思惹并注意发挥数学思想的功能数学思想是数学的基本观点是对数学概念、敏学方法和数学发现等的木质认识在解题中主要运用的数学思想有函数与方程的思想,数形结合的怡想,分类与整合的思想,化归与转化的思想,特殊与一航的思想,有限与无限的思想和或然与必然的思想等这些数学思想的名称与通常学习的数学概念或数学方法的名称有一些蚤然相同但是,数学概吾和数学方法本身并不等于数学思想,它们之间有联系,又有区别,这些区别主要表现在不同的层次上.例如,学习了函数的定义和性质,并能基本运用,并不一定具备函数怡想,当题目明确了所研究的对象是函数时,你可能会想到运用这个函数的性质去解决问题,如果没有明确所研究的对象是函数的时候,你是否想到用函数与变化的观点去思考与解决问题呻?又如,解方程中的消元法,佩等变形中的配方法,三角函数中的诱导公式,几何中的割补法等都是把问题向简单方向转化的具体方法,是化归与转化思想的具体体现,但是,化归与转化思想相对于消元法,配方法,诱导公式和割补法等来说,具有较高的层次这就是诗,数学中的一些具体方法都是在数学怡想的指导下产生的,我们在解题的时候,如果能够站在数学思想的高度,抓住数学中最本质的东西去怡考,就会高屋建铃,就会使解题更加科学与合理,就会使解题从被动变为主动,就会形成较为完善的解额系统让我们从一道高考试题的解题过程,体会一道数学题时如何在数学怡想的指导下完成的仟Q004年福建卷文)已知广(=4r+e2-3(xeR)在区间-1上是增函数(D)求实数a的值组成的集合4;(ID设关于x的方程/兀二Zr十皇菠的两个荨脖零实根为鸣鸣试闻是否存在实数m,使得不等式7P+tmH+1|-口|对任意ae4及Le-1恒成立?若存在,求力的取值范围;若不存在请说明理由.【分析及解】这是一道以三次函数形式呈现出来的函数间题首先解决第(I)问.这一闰相当于/(x)在区间-L上是增函数,求实数a的取值范图.一=4+2axr-2r,由己知,/x)在区间厂L上是增函数,等价于广(0对xeH佩成立即与-ax-20对xE-佩成立这是一个含参数的不等式的闰题,如何处理这一问题呻?首先是函数思想起了作用.把x“-2看作函数.记plx)=x“-ar-2.要使p(JJ0对xeLL佩成立只要,(j0就可以了.所以闰题转化为求(x)的最大值由于x2时,p(x)为增函数因此叉要对gfx)的对称轶相对于区间x-1】的中点的不同位署进行分类池论当x=.0时,由pl)的图象(图0可以看出,p(1)最大.解不等式组|12得-1Sa02得“0a=1p(-=l+a-2E0.综合以上得-1as1.即4=仁1as小如果对函数国象比较熟悉的话可以知道,pty)在-L上的最大值只能在区间的端点得到因此只要解誓砜U二脍一ZQ1就可以得到4=付_1Sa0所以方程x“-ax_2=0有两个非零实根下面计算|-|,V185本题等价于是否存在力,使不等式m2+m+1y78由x+=Q.x二得一|对aed,ze恒成立.把ya“+8看作关于a的函数7(a)=Va“+8,则式等价于砀71左ald|a由于ae4则7la)=ya“+8yL+8=3,从而式转化为7Z十r7十13,E口7十加012二0对fe_佩成立我们又可以把式的左边看作的函数记s()=m7+tz-2=ma+m7-2.