数学竞赛讲座,南理工数学系 刘德钦,学好数学,要记住三个字:.熟,练,化. _华罗庚_,解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的,只要经过你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模,当你在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。 _乔冶.波利亚_,不定积分,第 一 讲,注: 不定积分是计箅定积分、重积分、线面积分的一种工具,为解微分方程服务.,一. 基本概念,1、原函数与不定积分,(1) 定义:,若,连续函数一定有原函数,同步:p92,2. 性质和公式:,同步:93,2、基本积分表,是常数),同步:p374,1.基本概念题,例2 函数,为,的原函数，当,时，有,且,，,求,.,解：因,，所以,而由,得,，从而,故,（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,(2) 换元法:,第一类换元,同步:p95,常见类型:,第一类换元法,凑微分常见类型:,二. 积分法,第二类换元法,同步:p95,常用代换:,第二类换元法,(2)设m,n为被积函数的分子,分母关于,的最高次数,当,时,可用倒代换法.,练习:,(3) 分部积分法,选择u的有效方法:,(1)-对数函数；被积函数为多项式与对数函数乘积,(2)-反三角函数；被积函数为多项式与反三角函数乘积,选v-指数函数；被积函数为多项式(或三角函数)与指数函数乘积,4. 三类函数的积分:,同步:p104,(2010考研题),三角函数积分题,三角函数公式,解 令,例 11 求,复习大全:p85 例32,称为依分母分解法,三个以上乘积因子的积分若用分部,一项为原 来的因子,另一项为若干个因子乘积.,被积函数为三个因子乘积形式,(造一个分子是分母的导数.),有理函数积分:,练1,练:2000年 竞赛,例14,(97考研题),例15 09考研,三.几种常见技巧:,1. 循环现象:,2. 折项抵消法:,注: 遇到不可积的积分只能采用折项抵消法,方法2 待定函数法,待定函数法:,两边求导,4. 二项代换法:,5. 递推法:,6. 关于绝对值的积分,例23 设,为,上的连续偶函数，证明,的原函数中恰有一个是奇函数.,证：令,则,为奇函数，设,也是,的一个原函数，且为奇函数，则,且,，,(00年竞赛题),