第一节 不定积分的定义和性质,一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结,微分学要解决的问题,不定积分要解决的问题,f(x)是F(x)的导函数,F(x)是f(x)的什么函数呢？,例,一、原函数与不定积分的概念,原函数.,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,不定积分,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(1,2),函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族。,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,基本积分表,证明,例4 求积分,解,证,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质,例5 求积分,解,例6 求积分,解,解,例7 求积分,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,练习题,练习题答案,