,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,解:, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算,解: 令,则, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,例5. 计算,解: 令,则, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,例6.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如.,1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 计算,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 证明,证: 令,n 为偶数,n 为奇数,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,公式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,公式的应用,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.,提示: 令,则,2. 设,求,解:,(分部积分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,P284习题5-3 1.单数；2.双数；3；4.,备用题,1. 证明,证：,是以 为周期的函数.,是以 为周期的周期函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,= 左端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,