第8.6节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,2. 对坐标的曲面积分,第八章,(1)曲面的侧,假定曲面是光滑的,且所考虑的曲面是双侧的.,曲面为非封闭：,分上侧与下侧；,分右侧与左侧；,分前侧与后侧.,曲面为封闭曲面：分外侧与内侧.,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,上页 下页,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),上页 下页,对于有前后两侧的曲面,以前侧作为正侧.即规定,为锐角的一侧为正侧;,对于封闭曲面,以外侧为正侧,即规定曲面上任意,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,上页 下页, 设 为有向曲面,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,上页 下页,(3)有向曲面在各坐标面上的投影,曲线在坐标平面上的投影曲线所围成的区域.,对有向曲面,规定其正侧投影为正的,负侧投影是负的.,一张曲面在坐标平面上的投影区域是指它的边界,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,上页 下页,对一般的有向曲面 ,用“分割, 近似代替, 求和, 取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,上页 下页,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,上页 下页,2. 定义.,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;,上页 下页,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,上页 下页,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,上页 下页, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,上页 下页,对坐标的曲面积分计算步骤：,一投:将积分曲面投向曲面积分中已指定的坐标面;,二代:将曲面的方程化为投影面上两个变量的显函数，,三定号: 依的侧决定二重积分前的正负号.,(2)计算二重积分,(1)化为二重积分,一投、二代、三定号,再将此显函数代替被积函数中的另一变量;,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例1. 计算曲面积分,其中 为球面,的外侧在第一和第八卦限部分.,上页 下页,一投:,取上侧,取下侧,上页 下页,三定号,例2. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,上页 下页,练习. 设 是有向曲面,其法向量与z轴正向的夹角为锐角，求,解 先计算,一投:,曲面在yoz坐标面上的投影,区域为,由,解得,把有向曲面分成,两部分:,取后侧;,取前侧.,二代：,上页 下页,三换：,化为二次积分,上页 下页,所以,曲面在xoy坐标面上的投影,区域为,下面计算,取上侧,上页 下页,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,上页 下页,由此可得：,上页 下页,例3. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,上页 下页,例4. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,上页 下页,原式 =,上页 下页,是平面,在第四卦限部分的上侧 , 计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,练习 设,上页 下页,内容小结,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,上页 下页,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 ,上页 下页,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(3) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,(2) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),上页 下页,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,上页 下页,思考与练习,1. P263 题1,提示: 设,则, 取上侧时, 取下侧时,上页 下页,作业 P256 1(1), (4) ; 2(1), (3), (5); 3,上页 下页,备用题 求,取外侧 .,解:,注意号,其中,上页 下页,利用轮换对称性,