,第八章,第七节,二 重 积 分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一. 概念与性质,二. 计算累次积分,三. 几何应用,本节的教学要求,理解二重积分的概念和性质 掌握直角坐标系下二重积分的计算 了解极坐标系下二重积分的计算 会解二重积分的简单几何应用问题,重点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法: 类似定积分解决问题的思想:,(一) 二重积分的概念,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、引例,1. 曲顶柱体的体积,4)“取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为D上连续函数.,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义8.8,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界闭区域 D上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二) 二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二重积分的估值定理),7. (二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(三) 二重积分的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同样, 曲顶柱体的底为,则其体积可按如下两次积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是, 计算二重积分就转化为计算两次定积分.,和上式右端叫作累(二)次积分.,1. 利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,(1) 如果D是矩形, 即,也可记作,(2) 如果函数,(3) 如果平行于坐标轴的直线与积分区域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可积, 且区域,则,则要分区利用积分的可加性积分.,所以做二重积分时,也应先画图求交点, 以确定积分限.,交点多于两个,例1 计算二重积分,其中区域D是由,所围成的矩形.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,D既为 X 型区域, 又为 Y 型区域.,例2 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 计算,其中D 是由,所围成的位于第一象限内的图形.,解:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若先对 y 后对 x 积分,D既为 X 型区域, 又为 Y 型区域.,例4 计算,其中D是由,所围成的图形.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与,若对y先积分,需要分别积分后相加, 麻烦.,区域D被y轴分为两部分,对x积分, 就不必将区域D分开.,若先,例5 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,1. 化二重积分,D是由x轴,在第一象限的部分及直线,解:,围成的区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为二次积分.,圆,先对x, 后对y积分:,先对y, 后对x积分:,(写出两种积分顺序.),2. 计算二重积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因D是矩形区域, 所以,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),3. 二重积分的计算,二次积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本步骤:,(1) 画出积分域, 明确边界线方程和交点坐标.,(2) 确定积分顺序和积分上下限.,积分顺序选择的原则: 能积分; 分区少; 积分简单.,直角坐标系时二重积分化为二次积分:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业: P366 26(1)(3)(5); 29(1)(4)(5),作业讲评,16(6),用公式.,解:,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,用公式只能求偏导数.,求高阶偏导数用直接法,19(3) 求函数,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入上一式得,将,易得驻点: (0,0) 和 (1,1).,21解:,设内接长方体长为2x,宽为2y,高为z.,设,先消去,得x=y=z.,再由此式得,因驻点唯一和实际问题存在最大值, 知它为最大值点.,所以, 取得最大体积的内接长方体长宽高各为,的极值.,直角坐标系时二重积分化为二次积分:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于交换积分顺序,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,有些二次积分为了积分方便, 需要交换积分顺序.,如求,必须交换积分序:,先由所给二次积分明确D, 再定新的积分限.,例7 试证,其中,a,b均为常数, 且a0.,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,交换积分顺序, 先对y积分:,例8 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的几何应用,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用二重积分, 求在xoy平面上由,与,所围成平面区域的面积 A.,由性质4知,所以,D既为X型区域, 又为Y型区域,例9,但先对y积分较简单.,例10 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标与直角坐标的变换关系:,讨论在极坐标下计算,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用极坐标计算二重积分时, 确定二次积分的积分限,要注意区分以下几种情况.,考虑极限过程, 在极坐标下面积元素为,即,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 极点O在区域D之外的情况,区域D夹在两条射线,它们与区域D的边界的交,点将D的边界分成两部分:,之间,此时,则,(3) 极点O在区域D的内部,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 极点O在区域D的边界上,当区域D是圆或圆的一部分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当区域D的边界用极坐标表示极为简单,当被积函数为,等形式时,适宜采用极坐标计算二重积分的情况:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11 计算二重积分,其中D是圆,围成的区域.,解:,该圆的极坐标方程是,例12 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,若D无界, 属二元函数的广义积分.,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13 计算泊松积分,解: 因为,设,的原函数不是初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以不能用牛顿,莱布尼兹公式给出积分值.,其中区域D是整个第一象限.,用极坐标计算H,因,于是,而,例14 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,1. 交换二次积分的顺序,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,2. 计算,D是圆域,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在极坐标系下计算较简单.,其中,原式,(降幂),(奇函数在l,l积分),(4倍的圆面积),内容小结,(1) 交换二次积分顺序,(2) 几何应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先由已知的二次积分的积分限确定积分域,然后写出新的二次积分.,求平面图形(区域D)的面积,求曲顶柱体(底为D,顶为f (x,y)的体积,则,(3) 利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 计算二重积分步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,尽量使被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分要好算,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业: P367 27(1); 28; 29(6)(8); 30(2); 31(1),思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在0,1上连续,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,其中D 为由圆,所围成,及直线,解：,的平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,