单自由度系统的振动习题,洪 明（教授） 施 卫 华 （研二） Tel:13624255737 E-mail：,本次课的内容,常见振系,1,直接边界元的数值积分,2,问题与下一步的工作,3,直接边界元的程序框图,3,一、常见振系,1. 单摆和复摆,对复摆，根据定轴转动微分方程有：,当作微幅振动时，有sin , 上式变为：,系统的固有频率为：,2. 水平摆,根据定轴转动微分方程有：,当作微幅振动时，有：,再由静平衡条件：,上式化简为：,系统的固有频率为：,3. 扭振系统,系统的固有频率为：,所示的扭振系统由均质圆盘中心垂直连接一根弹性细轴构成。,系统运动微分方程为：,其中: J为均质圆盘绕质心的转动惯量; k为轴的扭转刚度。,4. 梁-质量系统,梁的挠度与作用力成正比, 令其比例系数为k。设w为质量块偏离静平衡位置的位移。,不计梁的质量，梁对质量块的反力为：,质量块的运动微分方程为：,由于平衡位置时有 ，上式可可写为：,1.1求各系统的自由振动频率。,当弹簧并联时：,当弹簧串联时：,(b)静变形法 梁的末端挠度有等式： 解得：,扩展：若此题改成右图。,其中 为弹簧的变形量， 为梁末端的挠度。,静变形为两部分组成：,(c)静变形法 做等效如右下图：,解得：,其中 为右端梁弯曲产生的挠度， 为左端梁在B点 产生转角引起的挠度。,(d)静变形法 设弹簧 静变形为 ，弹簧 静变形为 。,梁的挠度：,几何关系：,静力矩方程：,静力方程：,(e)静变形法 中间截断，作用力为：,(f)写出微分方程。 静平衡时， 其中 为平衡相位角。,很小时，,微振动时，由动量矩定理：,(h) 概念问题：固有频率为结构固有属性，与结构样式、边界条件有关，与外力无关。,本题把外力去掉，求解出来的固有频率就是所要 的固有频率：,1.2求等效弹簧常数。,解：对刚性杆， 端受力 ， 端受力 。,由几何关系：,1.3求 ， 的关系。,解：,1.4求等效弹簧常数。,解：可以选取不同的广义坐标，但结果肯定一样。,初始张力很大，振动微幅，,发生微幅振动微分方程：,静平衡位置为：,取两端与水平的夹角为广义坐标。,取 处的垂向位移为广义坐标。,静平衡位置为：,1.7求旋转振动周期。,解：等效法。,取 处垂向位移 为广义坐标。 有：,而等效系统的动能为：,有的同学使用能量法计算时出现错误：,因为：,系统的动能为：,由平衡位置有：,系统的势能为：,由能量守恒有：,1.8求旋转振动周期。,解：等效法。 此题可看成1.7题的一般情况。 取 为广义坐标。,