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1.1 变化率与导数新课教学,1.1.1 变化率问题,问题1 气球膨胀率,问题2 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度是,引导:,这一现象中,哪些量在改变? 变量的变化情况? 引入气球平均膨胀率的概念,当空气容量从增加时,半径增加了,r(1)r(0)= 0.62,当空气容量从加时,半径增加了,r()r()= 0.,探究活动,气球的平均膨胀率是一个特殊的情况,我们把这一思路延伸到函数上,归纳一下得出函数的平均变化率,设某个变量 f 随 x 的变化而变化,,从 x 经过 x , 量 f 的改变量为,量 f 的平均变化率为,平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度,为了了解汽车的性能,还需要知道汽车在某一时刻的速度瞬时速度,2 瞬时速度,平均速度的概念,这段时间内汽车的平均速度为,已知物体作变速直线运动,其运动方程为ss(t)(表示位移,t 表示时间),求物体在 t0 时刻的速度,如图设该物体在时刻t0的位置是(t0)OA0,在时刻t0 +Dt 的位置是s(t0+Dt) OA1,则从 t0 到 t0 +Dt 这段时间内,物体的 位移是,在时间段( t0+Dt) t0 = Dt 内,物体的平均速度为:,要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是 s =s(t ),那么物体在时刻t 的瞬时速度v,就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内,当 Dt0 时平均速度,的极限即,例 物体作自由落体运动, 运动方程为: ,其中位移 单位是m ,时间单位是s ,g=9.8m/s2 求:(1) 物体在时间区间 2,2.1上的平均速度; (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度; (3) 物体在t =2时的瞬时速度.,(1) 将 Dt=0.1代入上式,得,(2) 将 Dt=0.01代入上式,得,瞬时速度,高台跳水,高台跳水,导数的概念,一般地,函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化率是,导数的概念,也可记作,若这个极限不存在,则称在点x0 处不可导。,设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( 点 x0 +x 仍在该定义内)时, 相应地函数 y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 ),若y与x之比当 x0的极限存在,则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ,并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数, 记为 。,即,例: 高台跳水运动中, 秒 时运动员相 对于水面的高度是 (单位: ),求运动员在 时的瞬时 速度,并解释此时的运动状态;在 呢?,同理,,运动员在时的瞬时速度为 ,,上升,下落,这说明运动员在附近,正以大约 的速率 。,你能借助函数的图象说说平均变化率,表示什么吗?请在函数,图象中画出来,割线AB的的变化情况,在,的过程中,,请在函数图象中画出来,你能描述一下吗?,3.1.1 导数的几何意义,的切线方程为,即,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一)适用于各种曲线。所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质。,根据导数的几何意义,在点P附近,曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。,大多数函数曲线就一小范围来看,大致可看作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,即“以直代曲” (以简单的对象刻画复杂的对象),1.在函数 的 图像上,(1)用图形来体现导数 , 的几何意义.,(2)请描述,比较曲线分别在 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 附近呢?,(2)请描述,比较曲线分别在 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 附近呢?,增(减):,增(减)快慢:,=切线的斜率,附近:,瞬时,变化率,(正或负),即:瞬时变化率(导数),(数形结合,以直代曲),画切线,即:导数,的绝多值的大小,=切线斜率的绝对值的 大小,切线的倾斜程度 (陡峭程度),以简单对象刻画复杂的对象,(2) 曲线在 时,切线平行于x轴,曲线在 附近比较平坦,几乎没有升降,曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近,曲线 ,函数在 附近单调,如图,切线 的倾斜程度大于切线的 倾斜程度,,大于,上升,递增,上升,这说明曲线在 附近比在附近 得迅速,递减,下降,小于,下降,2如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) (单位:mg/ml)随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1),血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度,从图象上看,它表示,曲线在该点处的切线的斜率.,函数f(t)在此时刻的导数,(数形结合,以直代曲),以简单对象刻画复杂的对象,抽象概括:,是确定的数,是的函数,导函数的概念:,小结: .函数 在 处的导数 的几何意义,就是函数 的图像在点 处的切线AD的斜率(数形结合),切线 AD的斜率,3.导函数(简称导数),2.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学 思想方法。,以简单对象刻画复杂的对象,
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