平均变化率,(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？,(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？,想一想,本题说明:y与t中仅比较一个量的变化是不行的.,问题情境1,过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。,问题情境3,容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.,如何量化陡峭程度呢？,该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.,称该比值为曲线在B,C之间这一段平均变化率.,B,A,C,交流与讨论,平均变化率的定义：,一般地，函数在区间 上的平均变化率为,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”,建构数学理论,说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的斜率.,（以直代曲思想）,（数形结合思想）,平均变化率,一般的，函数在区间上 的平均变化率为,其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,结论：,例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在区间-3，-1，0，5上 f(x)及g(x) 的平均变化率.,数学应用,思考:一次函数y=kx+b在区间m,n上的平均变化率有什么特点？,例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：,（1）1，3； （2）1，2； （3）1，1.1； （4）1，1.001.,4,3,2.1,2.001,（5）0.9，1； （6）0.99，1； （7）0.999，1.,变题:,1.99,1.9,1.999,课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？,数学应用,3.1.2导数的概念,高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10,求2时的瞬时速度？,二.新授课学习,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,瞬时速度,、函数的平均变化率怎么表示？,思考：,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,导数的作用：,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,一差、二比、三极限,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,三典例分析,题型二：求函数在某处的导数,例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,练习:,计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时 变化率，并说明它们的意义。,这说明: 在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。,练习：,小结：,1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量s=s(t+t)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率 （3）求极限,