关于二元一次方程组的应用教学总结一、对应用题的观察和分析利用二元一次方程组解有关的应用题时，对应用题进行观察和分析，要着重注意如下三点：（1）题中有哪几个未知数(包括明显的未知数和隐含的未知数)？（2）题中的未知数与已知内容之间有哪几个相等关系(包括明显的相等关系和隐含的相等关系)？题中有几个未知数，一般就要找出几个相等关系.（3）设立哪几个未知数，利用哪几个相等关系，可以较方便地把其余未知数用所设未知数的代数式表示出来？(利用剩下的等量关系列方程组.)二、常见几类应用题及其基本数量关系明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常遇到的几类应用题及其基本关系如下：1.行程问题：基本关系式为:速度时间=距离2.工程问题：基本关系式为:工作效率工作时间=工作总量计划数量超额百分数=超额数量计划数量实际完成百分数=实际数量3.百分比浓度问题：基本关系式为:溶液百分比浓度=溶质4.混合物问题：基本关系式为:各种混合物重量之和=混合后的总重量混合前纯物重量=混合后纯物重量混合物重量含纯物的百分数=纯物的重量5.航行问题：基本关系式为:静水速度+水速=顺水速度静水速度-水速=逆水速度6.数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系.7.倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等.三、例题精析如何分析应用题：例1：某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？思考如下：（1）题目中的已知条件是什么？（2）“有人没有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3.基于上述分析，那么已知条件“每辆车坐45人，15人没有座位”可理解成什么？“每辆车坐60人，恰好空出一辆车”又可理解成什么？例2：汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误 小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前 小时到达.求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的时间.思考问题：（1）路程、速度、时间三者关系是什么？（2）本题中的“延误”和“提前”都是以什么为标准的？（3）基于上述分析，那么已知条件“汽车每小时行使45千米，则要延误 小时到达目的地”可理解成什么？已知条件“若每小时行使50千米，就可以提前 小时到达目的地”又可理解成什么？例3：甲、乙两人从相距36千米的两地同时相向出发，经过4小时30分钟相遇，如果乙先走2小时，然后甲再出发，这样甲经过3小时40分钟与乙相遇，求甲、乙两人的速度.分析：此题是行程问题中的相遇问题.题中有两个未知量：甲、乙两人的速度.有两个等量关系：（1）甲、乙二人4 小时所走的路程=36千米；（2）甲3 小时所走的路程+乙(2+3 )小时走的路程=36千米.解：设甲、乙二人的速度分别为x千米/时，y千米/时.例4：甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人相遇.已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.(只列方程，不求出)分析：这个问题是环形线上的相遇、追及问题.其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度.有两个相等关系，即（1）背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400米；（2）同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400米.解：设甲人速度为每分钟x米，乙人速度为每分钟行走y米.例5：某纸品厂加工甲、乙二种无盖的长方体小盒如图（1），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等，如图（2）.现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？解:法（一）设可以制作甲种小盒x个，乙种小盒y个根据题意列出方程组 解：法（二）设制作甲种小盒用去x张正方形硬纸片，制作乙种小盒用去y张正方形硬纸片，那么可制作甲种小盒x个，乙种小盒 y四、如何设未知数列方程解应用题的第一步是设未知数，设未知数的方法很多，有时可直接设所求量为未知数，有时应间接地设未知数，还有的时候需要增设辅助未知数.那么，如何巧设未知数，以达到迅速解题的目的呢？1、直接设所求量为未知数例1：A，B两地相距20千米.甲、乙两人分别从A，B两地同时相向而行，两小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有2千米.求甲、乙的速度.分析：这个问题是直线行驶中的相遇、追及问题.其中设两个未知数：甲、乙各自的速度，有两个相等关系.解：设甲人的速度是每小时行x千米，乙人的速度是每小时y千米.依题意，得 2、合理选择，间接设元许多同学在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数.这种方法有时很难寻找已知量与未知量之间的相等关系.因此，我们应根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的.例2：从夏令营到学校，先下山然后走平路，某同学先骑自行车以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过平路，到达学校共用55分钟，他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏令营用了1 小时.从夏令营到学校有多少千米？分析：根据题设条件，若设山路长为未知数x，则由来回的平路长相等得方程：同样可设平路长为未知数，由来回山路长相等得方程12 还可设山路长和平路长分别为x千米，y千米，由来回的时间关系建立二元一次方程组 或设下山和上山的时间分别为x小时，y小时.由来回山路长和平路长分别相等得到二元一次方程组 3、设而不求，巧用辅助量当应用题中涉及的量较多，各个量之间的关系又不明显时，可适当地增设辅助未知数，目的不是要具体地求出它们的值，而是以此作桥梁，沟通各个数量之间的关系，为列方程(组)创造条件.在解题过程中需将辅助未知数消去，以便求出所需未知数的值.例1：一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？解设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得(x5)V2x(V1-V2)5(V1V2)，xV2+5V2xV1-xV25V1+5V2，xV15V1，V10，x5.答：乘客5分钟后发现掉了物品.注：这里的辅助未知数是V1和V2.例2：一只船发现漏水时，已进了一些水，现水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时可淘完，5人淘水8小时淘完，如果2小时淘完水，需要多少人淘水.解：设2小时淘完水需x人，一人淘水量为y，每小时进水量为z，再设原进水量为a，由题意得(2)-(1)得5z=10y，z2y，(4)(2)(3)得6z=2y(20-x)，(5)把(4)代入(5)得62y2y(20-x)，解得x=14.答：2小时淘完水需14人.注：这里的y，z，a是设而不求的辅助未知数.例3：甲班与乙班共83人，乙班与丙班共86人，丙班与丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？(首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)解：设甲、乙、丙、丁班各有人数a、b、c、d，由题意得(1)-(2)+(3)得ad=85人.答：甲班和丁班共有85人.例4：一只小船顺流航行从甲码头到乙码头需a小时，逆流航行这段路程需b小时，那么一木块顺水漂流这段路程需_小时.解：设甲、乙两个码头的距离是S公里，小船在静水中的速度为x公里/小时，水流速度为y公里/小时，依题意得例5：有一片牧场，草每天都在均匀地生长(草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量相等：(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？解：(1)设这片牧场原有草量为a，每天生长的量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛在x天内可以吃完牧草，来列方程。