第1课时周期函数,1.了解周期函数的定义,知道周期函数的周期和最小正周期的含义. 2.知道正弦函数和余弦函数都是周期函数. 3.会求函数y=Asin(x+)与y=Acos(x+)的周期.,1,2,1.周期函数 (1)定义:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期. 归纳总结若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则有:(1)定义域中含有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中kZ;(3)f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一次.,1,2,1,2,2.两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y=sin x是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它的周期,最小正周期是2. (2)余弦函数y=cos x是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它的周期,最小正周期是2. (3)正弦函数和余弦函数的周期性,实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的.,1,2,(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数f(x)=C(C为常数),xR,当x为定义域内的任何值时,函数值都是C,即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=f(x),因此f(x)是周期函数,因为T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)没有最小正周期. (3)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值,周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2),求证:函数y=f(x)是周期函数. 分析:只需找到一个非零实数T,满足f(x+T)=f(x)即可. 证明:令x-2=t,则x=t+2, 于是由f(x+2)=f(x-2),得 f(t)=f(t+2)+2=f(t+4). f(t)=f(t+4).f(x+4)=f(x). 函数y=f(x)是周期函数,4是一个周期. 反思通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时,只需找到一个非零常数T,满足对定义域内任意x总有f(x+T)=f(x)成立即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a是不为零的常数),证明:2a是函数y=f(x)的一个周期. 证明:f(x+a)=-f(x), f(x+2a)=f(x+a)+a=-f(x+a)=-f(x)=f(x), 由周期函数的定义知2a是函数y=f(x)的一个周期.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可. 2.已知一个函数是周期函数,若要研究该函数的有关性质,由周期函数的定义,可知研究该函数在一个周期上的特征,加以推广便可以得到该函数在其定义域内的有关性质.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,