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高中数学总复习函数值域的7类题型和常用方法一、函数值域基本知识1定义 在函数中,与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。2确定函数的值域的原则当函数用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;当函数用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;当函数用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域,是求其他复杂函数值域的基础 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地,常见函数的值域:1.一次函数 的值域为R2.二次函数 当时的值域为 当时的值域为3.反比例函数 的值域为4.指数函数 的值域为5.对数函数 的值域为R6.正,余弦函数的值域为 正,余切函数的值域为R三、求解函数值域的7种题型【题型一】一次函数的值域(最值)1.一次函数: 当其定义域为,其值域为;2.一次函数在区间上的最值只需分别求出,并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时,需结合函数图像来确定函数的值域。【题型二】二次函数的值域(最值)1.二次函数当其定义域为时,其值域为2.二次函数在区间上的值域(最值)首先判定其对称轴与区间的位置关系(1)若 则当时,是函数的最小值,最大值为中较大者; 当时,是函数的最大值,最大值为中较小者。(2)若,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值。【特别提醒】若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;若给定的区间形式是等时,要结合图像来确函数的值域;当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。【例1】已知的定义域为,则的定义域为【例2】已知,且,则的值域为【题型三】一次分式函数的值域1.反比例函数 定义域为,值域为2.形如的值域(1)若定义域为时,其值域为(2)若时,我们把原函数变形为,然后利用(即的有界性),便可求出函数的值域。【例3】函数的值域为 若时,其值域为【例4】当时,函数的值域 【例5】已知,且,则的值域为【例6】函数的值域为 若,其值域为 【例7】求下列函数的最大值、最小值与值域。解:顶点为(2,-3),顶点横坐标为2抛物线的开口向上,函数的定义域R,x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是y|y-3顶点横坐标23,4当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;在3,4上,=-2,=1;值域为-2,1顶点横坐标20,1当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,在0,1上,=-2,=1;值域为-2,1顶点横坐标2 0,5当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6,在0,1上,=-3,=6;值域为-3,6(思考:为什么这里直接就说当 x=5时,=6,而不去考虑x=0对应的函数值情况?答:因为观察图像可知x=5离对称轴较远,其函数值比x=0对应的函数值大)【题型四】二次分式函数的值域一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题:检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在;分子、分母必须是既约分式。【例1】 【例2】 【例3】 【例4】求函数的值域解:由原函数变形、整理可得: 求原函数在区间上的值域,即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围当时,解得:也就是说,是原函数值域中的一个值 当时,上述方程要在区间上有解,即要满足或解得: 综合得:原函数的值域为【题型五】形如的值域这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。【例】求函数在时的值域 【题型六】分段函数的值域 一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。 如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。【例1】解:将函数化为分段函数形式:,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是y|y3解法2:函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和, 易见y的最小值是3,函数的值域是3,+ 两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法。说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.【例2】 【题型七】复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。【例1】 【例2】 四、函数值域求解的常见求法1.直接法(俗名分析观察法)有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发,推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。【例1】已知函数,求函数的值域。 【例2】求函数的值域。 【例3】求函数的值域。【例4】求函数的值域。 1.求函数的值域。2.求函数的值域3.求函数y=x(0x5)的值域。4.求函数y3值域。5.求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 6.求函数的值域。7.求函数的值域。8.求函数的值域。1. 2. 3.0,1,2,3,4,54.5,+5.解:-1x1,-33x3,-13x+25,即-1y5,值域是-1,5 即函数的值域是 y| y2 ,即函数的值域是y|yR且y1(此法亦称分离常数法)(思考:如何使用口算法?)当x0,=,当x0时,=值域是2,+)(此法也称为配方法)函数的图像为:6.由函数,则: 定义域为: 得:, 值域为:7.2x0,082x802故函数的值域是8.由;又综上,函数的值域为.2.配方法 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题,均可使用配方法。【例1】求函数的值域。分析与解答:因为,即于是:,【例2】求在区间的值域。分析与解答:由配方得: 当时,函数是单调减函数,所以 当时,函数是单调增函数,所以所以函数在区间的值域是【例3】求函数的值域。点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。解:由,可知函数的定义域为x1,2。此时,函数的值域是点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。1.求函数的值域。2.求函数的值域3.已知函数的定义域是,值域为,则的取值范围是( )A B C D4.求函数y的值域。5.求函数的值域。6.求函数y =-2x + 5,x-1,2的值域。7.求函数的值域。8.求函数的值域。9.求函数 y = x2 - 6x + 2的值域。10.求函数 y = sin2x - 6sinx + 2的值域。1.yy3 2.3.C试题分析:因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时,因此当时, .故当,故应选C.4.1x0,且x0, 0x1,又y0,y2x+1x+21+2令tx2+x(x)2+,0x1,0t,0,y21,2,函数y的值域为1,5.由题得,所以函数的定义域为所以函数的值域为6.将函数配方得:y =(x -1)+ 4, x -1,2, 由二次函数的性质可知:当x = 1时, = 4 , 当x = - 1,时 = 8 故函数的值域是: 4 ,8 7.将函数变形为: 故函数的值域是: 0 , .8.将函数配方得:,当时,当时, 故函数的值域是:.解法一:y = x2 - 6x + 2( x - 3)27又( x - 3)20( x - 3)277函数的值域是7,)这里用到了配方法求函数的值域。解法二:y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3,开口向上的抛物线,故当x = 3时,函数有最小值f(3)7。函数的值域是7,)这里运用了二次函数的图象和性质求值域。一般地,求一次、二次函数的值域与最值,还要考虑它们的定义域。解法一:y = sin2x - 6sinx + 2 ( sinx
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