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小结与复习,第二十一章 一元二次方程,2020/8/9,1,一、一元二次方程的基本概念,1.定义: 只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为 ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程 2.一般形式:,ax2 bx c0 (a,b,c为常数,a0),要点梳理,2020/8/9,2,3.项数和系数: ax2 bx c0 (a,b,c为常数,a0) 一次项: ax2 一次项系数:a 二次项: bx 二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数; (2)未知数的最高次数为2; (3)二次项系数不为0; (4)整式方程,2020/8/9,3,二、解一元二次方程的方法,x2 + px + q = 0 (p2 - 4q 0),(x+m)2n(n 0),ax2 + bx +c = 0(a0 , b2 - 4ac0),(x + m) (x + n)0,各种一元二次方程的解法及使用类型,2020/8/9,4,三、一元二次方程在生活中的应用,列方程解应用题的一般步骤:,审,设,列,解,检,答,(1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法 (3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系列方程这一环节最重要,决定着能否顺利解决实际问题 (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性 (5)作答:即写出答语,遵循问什么答什么的原则写清答语,例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是( ) A. m1 B. m=1 C. m1 D. m0,解析 本题考查了一元二次方程的定义,即方程中必须保证有二次项(二次项系数不为0),因此它的系数m-10,即m1,故选A.,A,1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .,4,-2,0,考点讲练,2020/8/9,6,解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等,故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0,解得m=1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.,例2 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= .,【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程,所以1不符合,应引起注意.,-1,2020/8/9,7,2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2,则p的值为 .,-1,2020/8/9,8,【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1;(a-b)2与(a+b)2 要准确区分;(2)求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯,解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方; (2)先求出方程x213x+36=0的两根,再根据三角形的三边关系定理,得到符合题意的边,进而求得三角形周长,例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变为( ) A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9 (2) (易错题)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x213x+36=0的根,则该三角形的周长为() A13 B 15 C18 D13或18,A,A,2020/8/9,9,3.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为( ) A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24,A,2020/8/9,10,4.用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0 (要求写出必要解题步骤).,2020/8/9,11,4.用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0 (要求写出必要解题步骤).,2020/8/9,12,例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A. B. m2 C. m 0 D. m0,A,【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式,这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.,2020/8/9,13,5.下列所给方程中,没有实数根的是( ) A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 6.(开放题)若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是(写出一个即可),D,0,2020/8/9,14,例5 已知一元二次方程x24x30的两根为m,n,则m2mnn2 ,25,解析 根据根与系数的关系可知,m+n=4,mn=-3. m2mnn2m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 (-3)=25.故填25.,【重要变形】,2020/8/9,15,7. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于( ) A. 7 B. -2 C. D.,A,2020/8/9,16,例6 某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元,则每天的销售量为多少? (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元?,市场销售问题,2020/8/9,17,解析 本题为销售中的利润问题,其基本本数量关系用表析分如下:设公司每天的销售价为x元.,4,32,x-20,32-2(x-24),150,其等量关系是:总利润=单件利润销售量.,解:(1)32-(x-24) 2=80-2x;,(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x28, x=25,即售价应当为25元.,【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.,128,2020/8/9,18,例7 菜农小王种植的某种蔬菜,计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植,造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少?,解:设平均每次下调的百分率是x,根据题意得 5(1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去), x2=0.2=20%. 答:平均每次下调的百分率是20%.,平均变化率问题,2020/8/9,19,例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召,我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地,建成一个矩形的花园,要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道,剩余的地方种植花草,如图所示,要是种植花草的面积为532m2,,那么小道的宽度应为多少米?(所有小道的进出口的宽度相等,且每段小道为平行四边形),解:设小道进出口的宽为xcm (30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34(舍去) 答:小道进出口的宽度应为1米.,解决有关面积问题时,除了对所学图形面积公式熟悉外,还要会将不规则图形分割或组合成规则图形,并找出各部分图形面积之间的关系,再列方程求解.,(注意:这里的横坚斜小路的的宽度都相等),平移转化,2020/8/9,21,一元二次方程,一元二次方 程的定义,概念:整式方程; 一元; 二次.,一般形式:ax2+bx+c=0 (a0),一元二次方程的解法,直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,根的判别式及 根与系数的关系,根的判别式: =b2-4ac,根与系数的关系,一元二次方程的应用,营销问题、平均变化率问题,几何问题、数字问题,课堂小结,2020/8/9,22,
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