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2020年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)数学学科本试卷共6页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合,按交集定义,即可求解.【详解】由,得,所以,故选:B【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.已知复数z满足z(1+2i)=i,则复数在复平面内对应点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出的坐标得答案【详解】解:由,得,所以复数在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限故选:D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题3.已知向量,则“m1”是“,夹角为钝角”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的知识可得若,夹角为钝角,则且,再由且结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】若,夹角为钝角,则且,由可得,解得且,由且可得“m1”是“,夹角为钝角”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题,考查了充分条件、必要条件的判断,属于中档题.4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是( )A. 90B. 120C. 210D. 216【答案】C【解析】【分析】根据题意:分为两类:第一类,甲、乙、丙各自站在一个台阶上;第二类,有2人站在同一台阶上,剩余1人独自站在一个台阶上,算出每类的站法数,然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,且每级台阶最多站2人,所以分为两类:第一类,甲、乙、丙各自站在一个台阶上,共有:种站法;第二类,有2人站在同一台阶上,剩余1人独自站在一个台阶上,共有:种站法;所以每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.故选:C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用,还考查了分析求解问题的能力,属于中档题.5.已知定义在上函数,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.【详解】当时,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.6.对n个不同的实数a1,a2,an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,ain,记bi=ai1+2ai23ai3+(1)nnain,i=1,2,3,n!.例如用1,2,3可得数阵如图,对于此数阵中每一列各数之和都是12,所以bl+b2+b6=12+212312=24.那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+b120等于( )A. 3600B. 1800C. 1080D. 720【答案】C【解析】【分析】根据用1,2,3,4,5形成的数阵和每个排列为一行写成一个n!行的数阵,得到数阵中行数,然后求得每一列各数字之和,再代入公式求解.【详解】由题意可知:数阵中行数为:,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,每一列各数字之和都是:,.故选:C【点睛】本题主要考查数列的应用,还考查了分析求解问题的能力,属于基础题.7.已知中,为所在平面上一点,且满足.设,则的值为( )A. 2B. 1C. D. 【答案】C【解析】分析】由由,得:点是的外心,由向量的投影的概念可得:,再代入运算,即可【详解】解:由,得:点是的外心,又外心是中垂线的交点,则有:,即,又,所以,解得:,即,故选:【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点,投影的概念,平面向量的数量积公式,属中档题.8.在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,AB=BC=BB1=1,M是AC的中点,则三棱锥B1ABM的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意找到三棱锥B1ABM的外接球球心为中点,即可求出其半径,则可求出其表面积.【详解】如图所示:取中点为,中点为.并连接,则平面,所以所以三棱锥B1ABM的外接球球心为中点.所以,所以三棱锥B1ABM的外接球的表面积为.故选:B【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱,找到三棱锥的外接球球心.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.Keep是一款具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼,记录你每天的训练进程.不仅如此,它还可以根据不同人的体质,制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位:十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( )A. 月跑步里程最小值出现在2月B. 月跑步里程逐月增加C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】ACD【解析】【分析】根据折线图,依次分析月跑步里程的最小值,中位数,变化趋势,波动性即得解【详解】由折线图可知,月跑步里程的最小值出现在2月,故A正确;月跑步平均里程不是逐月增加的,故B不正确;月跑步里程数从小到大排列分别是:2月,8月,3月,4月,1月,5月,7月,6月,11月,9月,10月,故5月份对应的里程数为中位数,故C正确;1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳,故D正确.故选:ACD【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用,考查了学生综合分析,数形结合,数据处理能力,属于基础题10.已知函数,下列结论不正确的是( )A. 函数图像关于对称B. 函数在上单调递增C. 若,则D. 函数f(x)的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】去绝对值号,将函数变为分段函数,分段求值域,在化为分段函数时应求出每一段的定义域,由三角函数的性质求之【详解】解:由题意可得:,函数图象如下所示故对称轴为,故A正确;显然函数在上单调递增,上单调递减,故B错误;当,时函数取得最小值,故D错误;要使,则,则或,或,所以或, ,故C错误故选:BCD【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用,表达式中含有绝对值,故应先去绝对值号,变为分段函数,再分段求值域,属于中档题11.已知正方体棱长为,如图,为上的动点,平面.下面说法正确的是( )A. 直线与平面所成角的正弦值范围为B. 点与点重合时,平面截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大C. 点为的中点时,若平面经过点,则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D. 己知为中点,当的和最小时,为的中点【答案】AC【解析】【分析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断A选项的正误;证明出平面,分别取棱、的中点、,比较和六边形的周长和面积的大小,可判断B选项的正误;利用空间向量法找出平面与棱、的交点、,判断四边形的形状可判断C选项的正误;将矩形与矩形延展为一个平面,利用、三点共线得知最短,利用平行线分线段成比例定理求得,可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,则点、设点,平面,则为平面的一个法向量,且,所以,直线与平面所成角的正弦值范围为,A选项正确;对于B选项,当与重合时,连接、,在正方体中,平面,平面,四边形是正方形,则,平面,平面,同理可证,平面,易知是边长为的等边三角形,其面积为,周长为.设、分别为棱、的中点,易知六边形是边长为的正六边形,且平面平面,正六边形的周长为,面积为,则的面积小于正六边形的面积,它们的周长相等,B选项错误;对于C选项,设平面交棱于点,点,平面,平面,即,得,所以,点为棱的中点,同理可知,点为棱的中点,则,而,且,由空间中两点间的距离公式可得,所以,四边形为等腰梯形,C选项正确;对于D选项,将矩形与矩形延展为一个平面,如下图所示:若最短,则、三点共线,所以,点不是棱的中点,D选项错误.故选:AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.12.函数f(x)=ex+asinx,x(,+),下列说法正确的是( )A. 当a=1时,f(x)在(0,f(0)处的切线方程为2xy+1=0B. 当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且1f(x0)0C. 对任意a0,f(x)在(,+)上均存在零点D. 存在a0,f(x)在(,+)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项,选项A,通过切点求切线,再通过点斜式写出切线方程,选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围,选项C、D,通过构造函数,将零点问题转化判断函数与直线ya 的交点问题【详解】选项A,当时,所以,故切点为,所以切线斜率,故直线方程为:,即切线方程为:, 选项A正确.选项B,当时,恒成立,所以单调递增,又, ,所以,即,所以所以存在,使得,即则在上,在上,所以在上,单调递减,在上,单调递增.所以存在唯一的极小值点.,则,所以B正确.对于选项C、D,令,即 ,所以, 则令,令,得由函数的图像性质可知:时,单调递减.时,单调递增.所以时,取得极小值,即当时取得极小值,又,即又因为在上单调递减,所以所以时,取得极小值,即当时取得极大值,又,即所以当时,所以当,即时,f(x)在(,+)上无
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