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第二章 解三角形,2三角形中的几何计算,1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一平面图形中的计算问题,画出图形 ; 理清已知条件,要求的目标; 根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件.,答案,梳理,对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题,首先要把所求的量转化到三角形中,然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时,要注意使构造三角形含有尽量多个已知量,这样可以简化运算.,知识点二平面图形中的最值问题,思考,先求出两直线交点坐标(4k,3k),再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(4k)2(3k)29,从中求得k的最大值为 .,问题:直线x2y2k0与直线2x3yk0的交点在圆x2y29上或圆的内部,如何求k的最大值?,答案,梳理,类似地,对于求平面图形中的最值问题,首先要选用恰当的变量,然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系,借助于三角函数的相关知识求最值.,知识点三解三角形常用公式,在ABC中,有以下常用结论: (1)abc,bca,cab; (2)ab ; (3)ABC, ; (4)sin(AB) ,cos(AB) ,,sin Asin B,AB,sin C,cos C,(5)三角形常用面积公式,题型探究,类型一利用正弦、余弦定理求线段长度,例1如图所示,在四边形ABCD中,ADCD,AD10,AB14,BDA60,BCD135,求BC的长.,解答,在ABD中,由余弦定理, 得AB2AD2BD22ADBDcosADB, 设BDx,则有142102x2210 xcos 60, x210 x960, x116,x26(舍去), BD16. 在BCD中,,反思与感悟,解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系,再利用正弦、余弦定理求解.,跟踪训练1如图所示,在ABC中,已知BC15,ABAC78, sin B ,求BC边上的高AD的长.,解答,在ABC中,由已知设AB7x,AC8x,x0,,又07x,知B也为钝角,不合题意, 故C120. C60.,由余弦定理,得(7x)2(8x) 215228x15cos 60, x28x150, 解得x3或x5. AB21或AB35.,解答,类型二利用正弦、余弦定理求角度问题,设BEx,在BDE中,利用余弦定理, 可得BD2BE2ED22BEEDcosBED,,在ABC中,利用余弦定理,,反思与感悟,运用正弦、余弦定理解决有关问题时,需根据需要作出辅助线构造三角形,再在三角形中运用定理求解.,解答,又0A180,A60. 在ABC中,C180AB120B.,类型三利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题,例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m(a,b),n(sin B,sin A),p(b2,a2). (1)若mn,求证:ABC为等腰三角形;,证明,证明mn,asin Absin B,,a2b2,ab, ABC为等腰三角形.,(2)若mp,边长c2,角C ,求ABC的面积.,解答,由题意可知mp0,即a(b2)b(a2)0. abab. 由余弦定理可知,4a2b2ab(ab) 23ab, 即(ab) 23ab40,ab4(舍去ab1).,反思与感悟,解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式,并能熟练地运用公式进行求值.,跟踪训练3(1)在ABC中,若已知三边为连续整数,最大角为钝角,求最大角的余弦值;,解答,设三边长分别为a1,a,a1, 由于最大角是钝角,所以(a1) 2a2(a1) 20, 解得0a4.又因为a为整数,所以a1或2或3. 当a1时,a10,不合题意舍去; 当a2时,三边长为1,2,3,不能构成三角形; 当a3时,三边长为2,3,4,设最大角为,则,(2)求以(1)中的最大角为内角,相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.,解答,设相邻两边长分别为x,y,则xy4.,当堂训练,1.三角形的两边长为3 cm、5 cm,其夹角的余弦值是方程5x27x60的根,则此三角形的面积是,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.在ABC中,周长为7.5 cm,且sin Asin Bsin C4 56,下列结论: abc456 abc2 a2 cm,b2.5 cm,c3 cm ABC456 其中成立的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,由正弦定理知abc456,故对,错,错; 结合abc7.5,知a2,b2.5,c3,对, 选C.,1,2,3,4,5,3.ABC中,若A60,b16,此三角形面积S ,则a的值为 A.7 B.25 C.55 D.49,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.在ABC中,ab12,A60,B45,则a .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.在ABC中,三个角A、B、C的对边边长分别为a3,b4,c6, 则bccos Aaccos Babcos C的值为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,规律与方法,1.正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系. 2.不论题目如何千变万化,变换条件也好,变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题,只要紧紧抓住正弦、余弦定理,依托三角恒等变换和代数恒等变换,就可以将复杂问题转化为简单问题来计算或证明.,
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