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新课标高中数学必修4基础知识汇整第一部分 三角函数与三角恒等变换1 角度制与弧度制的互化:弧度,弧度,弧度. 弧长公式:;扇形面积公式:.2三角函数定义:设是一个任意角,终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫作的正弦,记作sin;x叫作的余弦,记作cos;叫作的正切,记作tan.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。角中边上任意一点为,设,则:.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.3三角函数线:正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.4诱导公式: 角函数正弦余弦正切/六组诱导公式统一为“”,记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.5同角三角函数基本关系:(平方关系);(商数关系).6两角和与差的正弦、余弦、正切:; .7二倍角公式:; .变形:;. (降次公式)8化一:=.9. 物理意义:物理简谐运动,其中. 振幅为A,表示物体离开平衡位置的最大距离;周期为,表示物体往返运动一次所需的时间;频率为,表示物体在单位时间内往返运动的次数;为相位;为初相.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。10三角函数图象与性质:函 数图象作图:五点法作图:五点法作图:三点二线定 义 域(,)(,)值 域1,11,1(,)极 值当x2k,ymax=1;当x2kymin=-1当x2k,ymax1;当x2k,ymin1无奇偶奇函数偶函数奇函数T22单 调 性递增递减递增递减递增对称轴X=+ kX=k无对称点(k,0)(+ k,0)(,0)(注:表中k均为整数)11. 正弦型函数的性质及研究思路: 最小正周期,值域为. 五点法图:把“”看成一个整体,取时的五个自变量值,相应的函数值为,描出五个关键点,得到一个周期内的图象.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 三角函数图象变换路线:. 或:. 单调性:的增区间,把“”代入到增区间,即求解. 整体思想:把“”看成一个整体,代入与的性质中进行求解. 这种整体思想的运用,主要体现在求单调区间时,或取最大值与最小值时的自变量取值.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。第二部分 平面向量1. 向量与数量:在数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量,反之,把只有大小,没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示,记为或(起点A,终点B). 向量的大小叫做向量的长度(或模),记为或. 规定长度为0的向量叫做零向量,记为;长度等于1个单位的向量称为单位向量.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。2. 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,记作,并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上,因而也叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量,记作. 与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为,规定零向量的相反向量仍是零向量. 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。3. 向量加减法:向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.如图所示,已知非零向量,在平面内任取一点O,作,则向量. 若作,则向量.向量的加减法满足:交换律;结合律.向量不等式:对于任意两个向量,有.向量加法多边形法则:向量首尾相接,结果首尾连.4. 向量数乘运算:实数与向量的乘积仍然是一个向量,这种运算称为向量的数乘,记作,并规定:;当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,. 数乘运算满足:厦礴恳蹒骈時盡继價骚。分配律、;结合律.对于任意向量,以及任意实数,恒有.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.5. 平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使. 把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。向量夹角:对两个非零向量,在平面内任取一点O,作,则叫做向量与夹角. 当与夹角是90时,与垂直,记作.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。正交分解:依据平面向量的基本定理,对平面上的任意向量,均可分解为不共线的两个向量与,使. 若把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底,则对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x、y,使得. 即平面内的任意向量都可由x、y唯一确定,把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作,式子叫做向量的坐标表示.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。6. 平面向量的数量积运算:,其中是与的夹角,叫做向量在方向上的投影.的几何意义:数量等于的长度与在的方向上的投影的乘积. 数量积运算满足:渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。交换律;数乘结合律;分配律. 把记作,有性质,从而. 力作功: 一个物体在力的作用下产生位移,那么力所作的功,其中是与的夹角,从而.7. 平面向量的坐标运算:设,则加减法:,;数乘:;向量积:;模:;距离:;夹角:.8. 向量共线:设,其中,若共线,当且仅当存在实数,使,即. 由此可证明平行问题、三点共线等.9. 向量垂直:对于平面内任意两个非零向量,. 设,则. 由此可证明一些垂直问题.10. 线段定比分点的坐标:已知点,点是线段上的一个分点,且,则有,即,由此得到. 若,得到线段中点坐标公式.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。11.向量知识与平面几何的联系:平面几何问题向 量 方 法求线段AB的长度转化为求向量的长度:.求两条线段的夹角由数量积求夹角或.证明两条直线垂直转化为两个非零向量的数量积为0,即.证明两条直线平行转化为证明两个非零向量共线,即12. 向量法解决平面几何问题三步曲:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等;(3)把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.
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