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第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1过等腰ABC底边BC上一点P引PMCA交AB于M;引PNBA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证:P点在ABC外接圆上.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。(杭州大学中学数学竞赛习题)分析:由已知可得MP=MP=MB,NP=NP=NC,故点M是PBP的外心,点N是PPC的外心.有BPP=BMP=BAC,PPC=PNC=BAC.BPC=BPP+PPC=BAC. 从而,P点与A,B,C共圆、即P在ABC外接圆上. 由于PP平分BPC,显然还有PB:PC=BP:PC.例2在ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以APS,BQP,CSQ的外心为顶点的三角形与ABC相似.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 (B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析:设O1,O2,O3是APS,BQP,CSQ的外心,作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知PO1S=2A,QO2P=2B,SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360.从而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360 将O2QO3绕着O3点旋转到KSO3,易判断KSO1O2PO1,同时可得O1O2O3O1KO3.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。O2O1O3=KO1O3=O2O1K =(O2O1S+SO1K) =(O2O1S+PO1O2) =PO1S=A; 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.例3AD,BE,CF是ABC的三条中线,P是任意一点.证明:在PAD,PBE,PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析:设G为ABC重心,直线PG与AB,BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线,垂足为A,C,D,E,F. 易证AA=2DD,CC=2FF,2EE=AA+CC,EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF. 两边各扩大3倍,有SPBE=SPAD+SPCF.例4如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析:将ABC简记为,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为.G为重心,连DE到H,使EH=DE,连HC,HF,则就是HCF.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 (1)a2,b2,c2成等差数列. 若ABC为正三角形,易证. 不妨设abc,有CF=,BE=,AD=. 将a2+c2=2b2,分别代入以上三式,得CF=,BE=,AD=.CF:BE:AD =: =a:b:c. 故有. (2)a2,b2,c2成等差数列. 当中abc时,中CFBEAD.,()2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”,有=.=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心 三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例5设A1A2A3A4为O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为A2A3A4,A3A4A1,A4A1A2,A1A2A3的垂心.求证:H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 (1992,全国高中联赛)分析:连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径为R.由A2A3A4知=2RA2H1=2RcosA3A2A4; 由A1A3A4得A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4,故A2H1=A1H2. 易证A2H1A1A2,于是,A2H1A1H2, 故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点成中心对称. 同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例6H为ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆心的H交直线EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,C2.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989,加拿大数学奥林匹克训练题)分析:只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a, CA=b,AB=c,ABC外接圆半径为R,H的半径为r. 连HA1,AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2), 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2=cosAbc-AH2, 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理,=(a2+b2+c2)-4R2+r2,=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:设I为ABC的内心,射线AI交ABC外接圆于A,则有AI=AB=AC.换言之,点A必是IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。例7ABCD为圆内接凸四边形,取DAB,ABC,BCD,CDA的内心O1, O2,O3,O4.求证:O1O2O3O4为矩形. (1986,中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992;4例8已知O内接ABC,Q切AB,AC于E,F且与O内切.试证:EF中点P是ABC之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析:在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加了条件AB=AC.当ABAC,怎样证明呢?預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 如图,显然EF中点P、圆心Q,BC中点K都在BAC平分线上.易知AQ=.QKAQ=MQQN,QK= =. 由RtEPQ知PQ=.PK=PQ+QK=+=.PK=BK. 利用内心等量关系之逆定理,即知P是ABC这内心.五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切.例9在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p. 式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,p表示半周. (杭州大学中学数学竞赛习题)分析:设RtABC中,c为斜边,先来证明一个特性:p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab;(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 观察图形,可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.而r=(a+b-c) =p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例10M是ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是AMC,BMC,ABC内切圆的半径,q1,q2,q分别是上述三角形在ACB内部的旁切圆半径.证明:=.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。(IMO-12)分析:对任意ABC,由正弦定理可知OD=OA =AB =AB,OE= AB.亦即有= =.六、众心共圆这有两种情况:(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11设在圆内接凸六边形ABCDFE中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:(1)AD,BE,CF三条对角线交于一点;铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 (2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题)分析:连接AC,CE,EA,由已知可证AD,CF,EB是ACE的三条内角平分线,I为ACE的内心.从而有ID=CD=DE,擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。IF=EF=FA,IB=AB=BC. 再由BDF,易证BP,DQ,FS是它的三条高,I是它的垂心,利用 不等式有:BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.BI+DI+FIIA+IE+IC.AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF.I就是一点两心.例12ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点,E是ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)分析:设AM为高亦为中线,取AC中点F,E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G,G必为ABC重心.连GE,MF,MF交DC于K.易证:DG:GK=DC:()DC=2:1.DG:GK=DE:EFGEMF.OD丄AB,MFAB,OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易证OE丄CD.例13AB
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