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线性代数第四章测试 参考答案学院计算机科学与信息技术学院 专业 课程向量组的线性相关性年级班姓名 学号 成绩与其它学科相比,数学成绩的方差历来较大,学数学要靠积累、消化、循序渐进,愿有志者抓紧抓细抓早.一、 填空题(1) 向量组线性关.(2) 4维向量组,的秩是,且一个极大无关组为.(3) 设的两组基为,;,则由基到基的过渡矩阵为,在基下的坐标为.(1)相;(2)4;(3);(4,-2,0);(4)2;二、 选择题1下列向量组的一个极大线性无关组可取为() A BCD答案:B2.向量组的秩是()A1 B2 C3 D4答案:C3.向量组线性相关的充要条件是()A存在一组均不为零的数使成立 B有且只有一个向量可由其余向量线性表出C至少有一个向量可由其余向量线性表出 D每个向量都可由其余向量线性表出答案:C4. 已知2维向量组,则至多是()A1 B2 C3 D4答案:B5. 线性方程组的基础解系为()A BCD答案:C三、计算题1 当a为值何时,方程组 有解?在有解时,求出它的通解(用导出组的基础解系表出).2、.设, ,试讨论当a, b为何值时(I)不能由线性表示;(II)可由惟一地线性表示,并求出表示式;(III)可由线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.解设有效使得()记A = ().对矩阵(A、)施以初等行变换,有(I)当a = 0, b为生意常数时,有可知,故方程组()无解,不能由线性表示.(II)当,且时,=3,故方程组()有惟一解,则可由惟一地线性表示,其表示式为(III)当时,对施以初等行变换,有可知= 2,故方程组()有无穷多解,其全部解为,其中c为任意常数.可由线性表示,但表示不惟一,其表示式为.3.设1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1, 证明向量组1,2,3,4线性相关.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。证: 只须证明齐次方程x11+x22+x33+x44=O(1)有非零解, 即证明了向量组1,2,3,4线性相关. 将1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1代入(1)式, 得x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+4)+x4(4+1)=O整理后得(x1+x4)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=O因此, 只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的1,2,3,4,的系数等于0, 则命题得证.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。也就是要使(2)解此齐次方程组, 对系数矩阵进行行初等变换得:方程有一个自由变量x4, 因此方程组(2)有非零解, 此解也就满足方程组(1), 因此1,2,3,4线性相关.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。4. 验证1=(1,-1,0), 2=(2,1,3),3=(3,1,2)是R3的一个基,并把=(5,0,7)用这个基线性表示.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解: 如果将1,2,3看作列向量拼成的矩阵有逆存在, 则它们必是R3的一个基, 因此试求此矩阵的逆如下:因此A有逆存在为因此1,2,3线性无关确实是R3的一个基. 则任给一列向量D=(d1,d2,d3), 将其作为列向量, 则解方程组AX=D, 可得X=A-1D, 具体用代入D, 可得彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。即解得在这基1,2,3下的坐标为2,3,-1, 即=21+32-3, 不难验证确实有(5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)5.求解下列非齐次线性方程组的通解解:对其增广矩阵作行初等变换:方程有两个首项变元x1和x4, 两个自由变元x2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t为任意常数, 则謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。, 将解写成向量形式, 有6.设三维向量空间里的两个基底分别为1,2,3与1,2,3, 且1) 若向量=21-2+33, 求对于基底1,2,3的坐标;2) 若向量=21-2+33, 求对于基底1,2,3的坐标.解: 将两个基底拼成按列分块的矩阵, 即令A=(1,2,3), B=(1,2,3), 则A与B均为三阶方阵. 则按题意知A与B的关系为厦礴恳蹒骈時盡继價骚。其中则1)即对于基底1,2,3的坐标为3,4,42)由B=AC知A=BC-1, 先求C-1如下:求出则有因此对基底1,2,3的坐标为11/2, -5, 13/2.三、 证明题 已知矩阵 ,且,试证是可逆矩阵,并求.证 因为,且,即,得,所以是可逆矩阵,且.
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