高三数学第二轮专题讲座复习：圆锥曲线综合题高考要求圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。重难点归纳解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值酽锕极額閉镇桧猪訣锥。典型题例示范讲解例1已知圆k过定点A(a,0)(a0),圆心k在抛物线Cy2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力知识依托弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识错解分析在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的技巧与方法对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小解(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,圆k的半径R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)弦MN的长不随圆心k的运动而变化(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0，y1y2=y02a2|OA|是|OM|与|ON|的等差中项|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。又|MN|=|y1y2|=2a， |y1|+|y2|=|y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20 0x0圆心k到抛物线准线距离d=x0+a,而圆k半径R=a且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交例2如图，已知椭圆=1(2m5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|CD|厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值命题意图本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合知识依托直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值错解分析在第(1)问中，要注意验证当2m5时，直线与椭圆恒有交点技巧与方法第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将|AB|CD|化简第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0)故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=,即x=mA(m,m+1),D(m,m+1)考虑方程组,籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。消去y得(m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC=又A、B、C、D都在直线y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA),|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。|AB|CD|=|xB+xC|=|= (2m5)故f(m)=，m2,5(2)由f(m)=，可知f(m)=又222，f(m)故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5例3舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。命题意图考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力知识依托线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程错解分析答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。技巧与方法通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(3，0)、(5，2)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x3y+7=0坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30设发射炮弹的仰角是，初速度v0=，则,sin2=,仰角=30蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。例4若椭圆=1(ab0)与直线lx+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。解由方程组消去y,整理得 (a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),则有綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为如图所示的阴影部分学生巩固练习1已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当ABC的面积最大时，m等于( )驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。A3 B CD2设u,vR，且|u|,v0,则(uv)2+()2的最小值为( )A4B2 C8D23 A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA=,则椭圆离心率的范围是_猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。4一辆卡车高3米，宽16米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。5已知抛物线y=x21上一定点B(1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BPPQ，则Q点的横坐标的取值范围是_構氽頑黉碩饨荠龈话骛。参考答案:1解析由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2)直线AC所在方程为x3y+2=0,点B到该直线的距离为d=m(1,4),当时，SABC有最大值，此时m=答案B2解析考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值答案C3解析设椭圆方程为=1(ab0),以OA为直径的圆x2ax+y2=0,两式联立消y得x2ax+b2=0即e2x2ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=a,0x2a，即0aae1答案e1輒峄陽檉簖疖網儂號泶。4解析由题意可设抛物线方程为x2=ay,当x=时，y=；当x=08时，y=由题意知3,即a212a2560解得a的最小整数为13答案135解析设P(t,t21)，Q(s,s21)BPPQ,=1,即t2+(s1)ts+1=0tR,必须有=(s1)2+4(s1)0即s2+2s30,尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。解得s3或s1答案(,31,+)5