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高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳:名 称椭圆双曲线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数(大于)的动点的轨迹叫椭圆即 当22时,轨迹是椭圆, 当22时,轨迹是一条线段 当22时,轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹叫双曲线即当22时,轨迹是双曲线当22时,轨迹是两条射线当22时,轨迹不存在标准方 程焦点在轴上时: 焦点在轴上时:注:根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时:焦点在轴上时:常数的关 系 ,最大,最大,可以渐近线焦点在轴上时:焦点在轴上时:抛物线:图形方程焦点准线(一)椭圆 1. 椭圆的性质:由椭圆方程 (1)范围:,椭圆落在组成的矩形中。 (2)对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心,简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点:,。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。椭圆形状与的关系:,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁,直至成为极限位置线段,此时也可认为是椭圆在时的特例。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 2. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 对于,左准线;右准线对于,下准线;上准线焦点到准线的距离(焦参数)(二)双曲线的几何性质: 1. (1)范围、对称性由标准方程,从横的方向来看,直线xa,xa之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 (2)顶点 顶点:,特殊点: 实轴:长为2a,a叫做实半轴长。虚轴:长为2b,b叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异。 (3)渐近线 过双曲线的渐近线() (4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率 范围:e1 双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 2. 等轴双曲线 定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率。 3. 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为,那么此双曲线方程就一定是:或写成。 4. 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别:三量a,b,c中a,b不同(互换)c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为1。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 5. 双曲线的第二定义:到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 6. 双曲线的准线方程: 对于来说,相对于左焦点对应着左准线,相对于右焦点对应着右准线; 焦点到准线的距离(也叫焦参数)。 对于来说,相对于下焦点对应着下准线;相对于上焦点对应着上准线。(三)抛物线的几何性质 (1)范围 因为p0,由方程可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 (2)对称性 以y代y,方程不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中,当y0时,x0,因此抛物线的顶点就是坐标原点。 (4)离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示。由抛物线的定义可知,e1。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【典型例题】例1. 根据下列条件,写出椭圆方程 (1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8; (2)和椭圆9x24y236有相同的焦点,且经过点(2,3); (3)中心在原点,焦点在x轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的距离是。 分析:求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据a2b2c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 解:(1)焦点位置可在x轴上,也可在y轴上 因此有两解: (2)焦点位置确定,且为(0,),设原方程为,(ab0),由已知条件有,故方程为。 (3)设椭圆方程为,(ab0) 由题设条件有及a2b2c2,解得b 故所求椭圆的方程是。 例2. 直线与双曲线相交于A、B两点,当为何值时,A、B在双曲线的同一支上?当为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 解:把代入 整理得:(1) 当时, 由0得且时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支,须0,所以或。 故当或时,A、B两点在同一支上;当时,A、B两点在双曲线的两支上。 例3. 已知抛物线方程为(p0),直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值。 解:设与抛物线交于 由距离公式|AB| 则有 由 从而 即 由于p0,解得例4. 过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解法一:由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12x22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上,得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1.解法二:由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直线l:y=x过AB的中点(),则,解得k=0,或k=1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=1,直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解法3:设椭圆方程为直线不平行于y轴,否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线,则, 所以所求的椭圆方程为: 例5. 如图,已知P1OP2的面积为,P为线段P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。解:以O为原点,P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a0,b0)由e2=,得.两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),则由点P分所成的比=2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上,所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.例6. 已知点B(1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足(1)求点P的轨迹C对应的方程;(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且ADAE,判断:直线DE是否过定点?试证明你的结论.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。(3)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2满足k1k2=2.求证:直线DE过定点,并求出这个定点.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解:(1)设【模拟试题】(答题时间:50分钟)1、 选择题 1. 是任意实数,则方程所表示的曲线不可能是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 2. 已知椭的一条准线方程是,则实数的值是( ) A. 7或7B. 4或12C. 1或15D. 0 3. 双曲线的离心率,则的取值范围为( ) A. B. (12,0) C. (3,0) D. (60,12) 4. 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为() A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 6. 已知点A(2,1),的焦点为F,P是的点,为使取得最小值,点的坐标是( ) A. B. C. D. 7. 已知双曲线的渐近线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为( ) A. B. C. D. 8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为( ) A. B. C. D. 9. 动圆的圆心在抛物线上,且动圆与直线相切,则动圆必过定点( ) A. (4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,2) 10中心在原点,焦点在坐标为
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