.,相似三角形期末复习,知识要点+练习提高,-万州德澳中学初三数学备课组,.,像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如 （或abcd），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段此时也称这四条线段成比例,要判断线段是否是成比例线段关键在于： 它们的比值是否相等！,一.比例线段,本章主要知识要点,.,1.基本形式为： 或,b、C叫比例内项，a、d叫比例的外项， d叫做a、b、C的第四比例项,* 比例的有序性 * 即按大小大小，或小大小大排列,一.比例线段,.,一.比例线段,2.比例中项：,练习：,当两个比例内项相等时，,那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.,.,如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比.,一.比例线段,3.黄金分割：,.,一.比例线段,3.黄金分割：,练习：,1若m是5和4的比例中项，则m= , 2（2008 河北）如图：等腰ABC顶角A360，B的平分线BD交 AC于D，则下列结论不成立的是（ ） A、BCAD B、点D是AC的黄金分割点。 C、 D、,D,.,判定方法 相似形 相似多边形 相似三角形 应用 性质,定义：,对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。,相似比：,相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。,二相似三角形,.,相似三角形的常见判定方法有： （1）、利用两组对应角相等证明相似 （2）、利用两边夹一角证明相似 （3）、利用三边对应成比例证明相似,（1）对应角相等,对应边成比例 （2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比 （3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方,相似三角形的判定,相似三角形的性质,预备定理,.,三角形相似的判定方法有哪几种?,预备定理,DEBC, ADEABC,相似三角形的判定,.,相似三角形判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似,相似三角形的判定,.,相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,相似三角形的判定,.,相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.,ABCDEF,相似三角形的判定,.,A,D,E,B,A,C,B,A,B,C,D,ADE绕点A,旋转,D,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,点E移到与C点,重合,ACB=Rt,CDAB,*相似三角形基本图形的回顾：,.,1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例,2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比 等于相似比,3、相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的性质,.,1,相似比：,相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 练习:,二、相似三角形,2,7,.,1、若 ACPABC，AP=4，BP=5，则AC=_， ACP与ABC的相似比是_，周长之比是_，面积之比是_。,6,2 : 3,2 : 3,练一练,4 : 9,2、如图：已知ABCCDB90，AC5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 ABC和BDC相似？,4,.,知识点一：测量不能直接到达顶部的物体的高度，通常使用在“同一时刻物体的物体的高度和影长成正比”来解决。,例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒OB，比较棒子的影长AB与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果OB1，AB2，AB274， 求金字塔的高度OB。,三,相似三角形的应用,.,知识点二：测量不能直接到达的两点之间的距离，常构造相似三角形求解。例2我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使ABBC，然后选点E，使ECBC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD120米，DC60米，EC50米，就能算出两岸间距离AB。,三,相似三角形的应用,.,知识点三：证明比例式或等积式 例3：如图已知D、E是ABC的边AB、AC上的点，且ADEC求证：ADABAEAC,三,相似三角形的应用,证明: ADE=C, A=A,AEDABC(两角对应相等,两三角形相似), =,AD AE,AC AB, ADABAEAC,.,作业:如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: ADEFAEEC,证明:四边形ABCD是正方形,BC=CD=AD，D=C=90,E是BC中点，FC= BC,ADEECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）, =,AD AE,EC EF, ADEFAEEC,.,例题： 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DFAE于F. (1)ABE与ADF相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长. (3) 若AE=x, BE=y, AF=6，AD=12, y与x之间有怎样的函数关系？,.,如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,（1）求证：ABDDCE,ADC是ABD的外角,ADC=ADE+2=B+1,）2,1,证明：AB=AC，BAC=90,B=C=45,又ADE=45,ADE=B,1=2, ABDDCE（两角相等，两三角形相似）,拓展提高,三,相似三角形的应用,.,（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值,解：ABDDCE,1,如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,三,相似三角形的应用,拓展提高,.,例4、在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟BPQ与BAC相似？,三,相似三角形的应用,拓展提高,.,9、如图，在ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4厘米/秒的速度移动，若P,Q分别从A,B同时出发，则经多少秒时PBQ可与ABC相似？,B,P,C,A,Q,.,例5、如图,DEBC,EFAB,且SADE=25,SCEF=36. 求ABC的面积.,解：DEBC，EFAB,A=CEF，AED=C,ADEEFC,DEBC,ADEABC, SADE=25,S ABC=121,.,拓展： 如图，点D 是Rt ABC的斜边AB上的点，DEBC于E，DF AC于F，若AF=15, BE=10, 求四边形DECF的面积。,A,C,B,D,E,F,.,练习：如图，ABC中，BD平分 ABC，且D为AC的中点，DEBC交AB于 点E，若BC=4，求EB长,A,D,E,C,B,