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东北师大附属中学高三第一轮复习导学案二次函数A 作者: 日期:二次函数一、知识梳理二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延 作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;这些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出现,也就不足为奇了 学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征 从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法1、二次函数解析式的三种形式一般式:顶点式:零点式:存在零点,则有2、二次函数的图象和性质 (1)、二次函数的图象是一条抛物线,抛物线 的对称轴是 ,顶点的坐标 ,因此对任意的实数x,都有 。当a0 时,抛物线开中方向 ,在区间 上是递增,在区间 上 ,是递减,因此抛物线在 处,取得最小值 。当a0,或ax2+bx+c0=00)的图象二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1,2=-bb2-4ac2ax1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集(-,x1)(x2,+)x|-b2aRax2+bx+c0)的解集(x1, x2)二、题型探究探究一二次函数的最值问题例1:已知a2,求函数f(x)=x2+ax+3 (-1x1)的最大值与最小值。探究二 二次函数与一元二次方程例2若函数是偶函数,则函数的最小值为 解:二次函数是偶函数,其图像关于轴对称函数的最小值为练习1. 若二次函数的图像的对称轴是轴,则实数的值是 解:由已知解得探究三 二次函数与导数例3 已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是 .解:由得,即,切线方程为,即例4.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为 解:由已知,而,探究四 二次函数与恒成立问题例5.若函数的定义域为一切实数,则实数的取值范围是 解:由已知对一切实数恒成立(1)当时,满足题意;(2)当时,只须解得由(1)、(2)得练习:若函数的定义域为一切实数,则实数的取值范围是 解:由已知对一切实数恒成立(1)当时,满足题意;(2)当时,只须解得由(1)、(2)得探究四 二次函数综合应用题例5. 已知二次函数和函数,(1)若为偶函数,试判断的奇偶性;(2)若方程有两个不等的实根,求证:函数在上是单调函数.解:(1)为偶函数, ,,即,. . 的定义域为,且 , 函数为奇函数.(2)由,得 ,由,且, 得,即 函数在上是单调函数.练习1.已知二次函数的图像过点,且得解集为(1)若在区间上单调递增,求实数的取值范围;(2)求函数在上的最值解:由已知设二次函数,其中将点带入,解得(1),要使在区间上单调递增,只须,解得;(2)由,得,函数在上的最大值为0,最小值为例6 设为实数,记函数的最大值为,求.解: (1) 若,则, .(2) 若,则,当时,由知在上单调递增,;当时, 若,即,则,若,即,则,若,即,则.综上所述:=.思考: 设为实数,记函数的最大值为,求.分析: 令,则, .函数的定义域为, .,.由题意知即为函数,的最大值,化归为例2求解.或由函数的定义域为,可令,则,又令,则,练习1. 设为实数,函数(1)若,求实数的取值范围; (2)求的最小值解:(1)若,则(2)当时, 当时, 综上例7.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值;(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.解:(1)设,则; 又的图像与直线平行,即 又在取最小值, ,即,; 设,则 ,解得或 ;21世纪教育网 (2)由, 得 当时,方程有一解,函数有一零点; 当时,方程有二解,若, 函数有两个零点;若,函数有两个零点; 当时,方程有一解, , 函数有一零点 21世纪教育网 练习1.已知关于的二次方程(1)若方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,求实数的取值范围;(2)若方程两根均在区间内,求实数的取值范围解:设二次方程所对应的函数为(1)要使方程的两根一根在区间内,另一根在区间内,由根的分布知识得解得;(2)要使方程两根均在区间内,由根的分布知识得解得即 备用己知,(1)(2),证明:对任意,的充要条件是;证明:(1)依题意,对任意,都有(2)充分性:必要性:对任意三、方法提升:1、关于二函数根的分布问题,主要采用连续函数根的存在性定理,并结合函数的单调性来解决问题,这与后面利用导数来解决根的个数问题方法一致。2、利用二函数求最值是一种重要的方法,尤其在解析几何中求最值问题应用软较多,3、韦达定理的使用是为了从整体上解决问题,利用根与系数的关系,节省计算过程,类似高中采取整体法处理问题的题目还是很常见的。4、含有二次不等式的讨论问题原则有两个,一是讨论二次项系数的正负,二是讨论两个根的大小,通常这类问题所给代数式都 是可以分解因式的,在解决问题的过程 中要先考虑分解因式。四、反思感悟 五课时作业三个二次问题(二次函数、不等式、方程)1. 解关于的不等式:(1) x2(a1)xa0,(2) 2 设集合A=x|x23k22k(2x1),B=x|x2(2x1)kk20,且AB,试求k的取值范围 3不等式(m22m3)x2(m3)x10的解集为R,求实数m的取值范围 4已知二次函数yx2pxq,当y0时,有x,解关于x的不等式qx2px10 5若不等式的解集为,求实数p与q的值 6. 设,若,, 试证明:对于任意,有.7.(经典题型,非常值得训练) 设二次函数,方程的两个根满足. 当时,证明.8. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围.9. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx,其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A、B;(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.10.已知实数t满足关系式 (a0且a1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式;(2)若x(0,2时,y有最小值8,求a和x的值.11.如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围.12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m0,求证:(1)pf()0;(2)方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=1602x,生产x件的成本R=500+30x元.(1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于1300元?(2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?14. 已知a、b、c是实数,函数f(x)ax2bxc,g(x)axb,当1x1时,|f(x)|1(1)证明:|c|1;(2)证明:当1x1时,|g(x)|2;15. 设二次函数,方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称,证明:.16. 已知二次函数,设方程的两个实数根为和. (1)如果,设函数的对称轴为,求证:;(2)如果,求的取值范围.17. 设,,,求证:() a0且21;()方程在(0,1)内有两个实根.
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