5.3对数函数的图像和性质,第三章5对数函数,学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法. 3.会解简单的对数不等式. 4.了解反函数的概念及它们的图像特点.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一ylogaf(x)型函数的单调区间,我们知道y2f(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，那么ylog2f(x)的单调区间与yf(x)的单调区间相同吗？,答案,答案ylog2f(x)与yf(x)的单调区间不一定相同，因为ylog2f(x)的定义域与yf(x)的定义域不一定相同.,一般地，形如函数f(x)logag(x)的单调区间的求法：先求g(x)0的解集(也就是函数的定义域)；当底数a大于1时，g(x)0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；当底数a大于0且小于1时，g(x)0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.,梳理,思考,知识点二对数不等式的解法,log2xlog23等价于x3吗？,答案,答案不等价.log2xlog23成立的前提是log2x有意义，即x0， log2xlog230 x3.,梳理,一般地，对数不等式的常见类型： 当a1时，,logaf(x)logag(x),f(x)0(可省略)， g(x)0， f(x)g(x)；,当0a1时，,logaf(x)logag(x),f(x)0， g(x)0(可省略)， f(x)g(x).,思考,知识点三不同底的对数函数图像的相对位置,ylog2x与ylog3x同为(0，)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？,答案,答案可以通过描点定位，也可令y1，对应x值即底数.,梳理,一般地，对于底数a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越小越靠近x轴.,思考,知识点四反函数的概念,如果把y2x视为ARB(0，)的一个映射，那么ylog2x是从哪个集合到哪个集合的映射？,答案,答案如图，ylog2x是从B(0，)到AR的一个映射，相当于A中元素通过f：x2x对应B中的元素2x，ylog2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.,梳理,一般地，像yax与ylogax(a0，且a1)这样的两个函数互为反函数. (1)yax的定义域R，就是ylogax的值域，而yax的值域(0，)就是ylogax的定义域. (2)互为反函数的两个函数yax(a0，且a1)与ylogax(a0，且a1)的图像关于直线yx对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.,题型探究,命题角度1求单调区间 例1求函数ylog (x22x1)的值域和单调区间.,解答,类型一对数型复合函数的单调性,解设tx22x1，则t(x1)22. ylog t为减函数，且0t2， ylog 2 1，即函数的值域为1，).,求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域. (2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x)为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x)为减函数，简称“同增异减”.,反思与感悟,跟踪训练1已知函数f(x)log (x22x). (1)求函数f(x)的值域；,解答,解由题意得x22x0，x22x0， 由二次函数的图像知0x2. 当0x2时，yx22x(x22x)(0,1， log (x22x)log 10. 函数ylog (x22x)的值域为0，).,(2)求f(x)的单调性.,解答,解设ux22x(0x2)，vlog u， 函数ux22x在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数，vlog u是减函数， 由复合函数的单调性得到函数f(x)log (x22x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.,命题角度2已知复合函数单调性求参数范围 例2已知函数ylog (x2axa)在区间(， )上是增函数，求实数a的取值范围.,解答,若a1，则ylogaf(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，若0a1，则ylogaf(x)的单调性与yf(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.,反思与感悟,解析函数由ylogau，u6ax复合而成， 因为a0，所以u6ax是减函数，那么函数ylogau就是增函数， 所以a1，因为0,2为定义域的子集， 所以当x2时，u6ax取得最小值， 所以62a0，解得a3，所以1a3.故选B.,跟踪训练2若函数f(x)loga(6ax)在0,2上为减函数，则a的取值范围是 A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3 D.3，),答案,解析,类型二对数型复合函数的奇偶性,解答,所以函数的定义域为(2,2)，关于原点对称.,即f(x)f(x)，,即f(x)f(x)，,解答,f(x)为奇函数，(b)a，即ab.,ln 10， f(x)f(x)， 此时f(x)为奇函数. 故f(x)为奇函数时，ab.,(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数). (2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)f(x)0来判断，运算相对简单.,反思与感悟,解答,所以函数的定义域为R且关于原点对称，,即f(x)f(x).,lg(1x2x2)0， 所以f(x)f(x)，,例4已知函数f(x)loga(1ax)(a0，且a1)，解关于x的不等式： loga(1ax)f(1).,类型三对数不等式,解答,解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a). 1a0，0a1. 不等式可化为loga(1ax)loga(1a).,不等式的解集为(0,1).,对数不等式解法要点： (1)化为同底logaf(x)logag(x). (2)根据a1或0a1去掉对数符号，注意不等号方向. (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)0且g(x)0.,反思与感悟,A(0,4).,答案,解析,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,2.如果 那么 A.yx1 B.xy1 C.1xy D.1yx,答案,2,3,4,5,1,3.若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于,答案,2,3,4,5,1,答案,2,3,4,5,1,解析,2,解析f(x)为奇函数，,a24.,又a2，a2.,5.函数f(x)ln x2的减区间为_.,答案,(，0),2,3,4,5,1,规律与方法,1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响. 2.yax与xlogay的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把xlogay换成ylogax，ylogax才与yax关于yx对称，因为(a，b)与(b，a)关于yx对称.,