学而不疑则怠，疑而不探则空,第四节 实数一,华师版八年级上学期 第十一章 数的开方,把下列各数填入相应的集合内：,1.整数集合：,2.分数集合：,3.有理数集合：,有理数包括整数和分数.而任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或无限循环小数.,温故知新,3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949,是无限不循环的小数.,1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805,是无限不循环的小数.,像 等都是无理数.,无限不循环小数叫做无理数.,有理数和无理数统称实 数.,概括,实数的分类：,实 数,有理数,无理数,整 数,分 数,有限小数或 无限循环小数,【有理数均可表示成 (p、q为互质整数)的形式】,无限不循环小数,(1)有根号且开方开不尽的.如：,无理数的三种表达形式：,(3)无限不循环小数.如：,(2)含有的.如：,3.14159，1.4142，0.8080080008,负实数,正实数,数实,正有理数,负有理数,按符号分类：,0,正无理数,负无理数,下列说法正确吗？请说明理由. (1)3.14159是无理数； (2)无限小数都是无理数； (3)无理数都是无限小数；,解：(1)错误.因为无理数是无限不循环小数， 而3.14159是有限小数，故它不是无理数。,(2)错误.因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数才是无理数，故正确说法应为“无限小数包含无理数”。,(3)正确.因为无理数是无限不循环小数， 所以无理数都是无限小数。,(4)带根号的数都是无理数；,解：错误.比如 带有根号，但它是有理数3.,正确说法应为： 带有根号且开方开不尽的数才是无理数.,(5)无理数都是开方开不尽的数；,解：错误.因为无理数有三种表达形式，开方 开不 尽的数只是其中一种，正确说法应 为“无理数包括开方开不尽的数”。,(6)不循环小数都是无理数.,解：错误.因为不循环小数包括有限不循环小数和无限不循环小数，只有无限不循环小数才是无理数。,我们知道，有理数可以用数轴上的点来表示.,无理数可以用数轴上的点来表示吗？,如图，将直径为1的圆在数轴上从原点开始滚动,例如：,故：无理数可以用数轴上的点来表示.,你能在数轴上找到表示无理数 的点吗？,将两个边长为1的正方形 剪拼成一个大正方形.,a=？,在数轴上找表示 、 的点,故：无理数 可以用数轴上的点来表示.,数轴上的每一个点必定表示一个实数；反之，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.即： 实数与数轴上的点一一对应.,同学们在以后的学习中可以证明这个结论的哟！,概括,1、把下列各数分别填入相应的数集里： 实数集 无理数集 有理数集 分数集 负无理数 ,一、基础巩固：,课后作业,2、下列说法正确吗？请说明理由. (1) 是分数； (2)因为3.14159，而3.14159是有理数， 所以是有理数； (3)有理数可以通过开方运算得到无理数，则无理数都可以通过乘方得到有理数.,二、拓展探究：,(1)阅读下列材料：, 在整数1和2之间，, 的整数部分是1，,小数部分是 -1., 在整数-2和-1之间，, 的整数部分是-1，,小数部分是 +1.,(2)根据上面的材料，写出下列各无理数的 整数部分和小数部分：,学而不疑则怠，疑而不探则空,第五节 实数二,华师版八年级上学期 第十一章 数的开方,1.请将数轴上各点与下列实数对应起来.,-3 -2 -1 0 1 2 3 4,A,B,C,D,E,4,2.下列实数中，无理数是（ ）,A. 3.14 B. C. 0 D.,D,温故知新,3.下列各组数中，互为相反数的一组是( ),5.在数轴上与原点距离等于 的点表示的数 是( ),A. -3 与 B. -3与- C. |-3|与 D. -3与,4.下列各数中，介于6和7之间的数是( ),D,B,C,A. B. C. D.,A. B. C. D. 7和-7,说明：,有关有理数的相反数、绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律， 对于实数也适用.,例1：,说出下列实数的相反数、绝对值：,实数,相反数,绝对值,(a3),例2：,比较下列各组实数的大小：,与,取近似值法,实数的大小比较 1.借助数轴(左小右大)； 2.借助绝对值 (两个负数比较，绝对值大的反而小)； 3.借助计算器进行近似计算(适用于无理数)； 4.乘方法；5.差值比较法；6.商值比较法； 7.倒数比较；8.规律法.,例3：,计算：(结果精确到0.01),解：,原式=,=,1.414+0.333+6.284,=,8.031,8.03,说明：,从有理数扩充到实数以后，正数总可以开方.在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根.,例4：,填空： (1) 3是非负数 的平方. (2) 2的算术平方根的平方是 ； 5的立方根的立方是 .,解析：,根据乘方和开方互为逆运算，可得,分组讨论,1、填空：,2、比较下列各组实数的大小：,例5：,小聪用下面的方法求实数 的近似值(精确到0.1)：,91016,即 3 4,3.1 3.2,故 的整数部分是3.,由3.32=10.8910，,3.22=10.2410，,3.12=9.6110，, ,而3.152=9.922510，,实数 的近似值为3.2,第一步： 确定整数部分,第二步： 逐步缩小范围,补充： 若精确到0.001，约为3.162,用同样的方法求下列实数的近似值(精确到0.1) ：,课本P11练习题,课堂练习：,(1)不正确.因为两个整数相除，商必定为有理数.当除不尽时，其结果是一个无限循环小数.,1、判断题：,(2)正确.因为任何实数的绝对值都是非负数，而无理数不包含0，所以任何一个无理数的绝对值都是正数.,2、计算题：,3、比较大小：,而1218, ,而-1.323-1.047, ,实数与数轴上的点一一对应.,无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称实数.,有关有理数的相反数、绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律，对于实数也适用.,补充说明：对无理数取近似值， 一般精确到千分位.,课堂小结：,课本P11习题11.2,一、基础巩固：,课后作业,二、提高练习：,1、不用计算器，比较下列实数的大小：,2、已知非负数a、b、c满足：a2=2，b的立方根和算术平方根都是本身，c的相反数为 ，判断以a、b、c为三边长能否组成三角形？,